El area del rectangulo mide

\(v_0 \Delta t \Delta E \over m g\)

Y por tanto, lo que nos dice el principio de indeterminacion (todavia el de Sommerfeld, en este caso: \(\Delta t \Delta E \ge \hbar\)) es que no podemos construir un rectangulo de area infinitesimalmente pequeña. El area minima, si estamos haciendo «gravedad galileana cuantica», seria \(v_0 \hbar \over m g\). O en general, con una fuerza constante de intensidad F, \(v_0 \hbar \over F\)

En esta grafica tenemos hastags geoposicionados en los últimos seis meses, de forma que en la coordenada horizontal contamos el total de apariciones de un hashtag y en la vertical (¿alguien se acuerda de cual era la ordenada y cual la abscisa?) el numero de apariciones dentro del rectangulo que contiene a Aragón (y de paso, algo de Castellon y media Navarra, claro).

Hay dos nubes de puntos: la obvia correspondiente a que muchos hastags del submuestreo aragones tienen la misma probabilidad de ser empleados en Aragón que en toda España, y de ahi la nube de la parte derecha, formando una diagonal cuya posición depende del porcentaje de poblacion. En el lado izquierdo tendremos la nube de palabras que se usan más frecuentemente en la región que en el resto de España; si estan pegadas a la diagonal, son exclusivas de la region.

Asi pues, la diagonal paralela a la derecha nos indica lo que tenemos en comun, la nube de la izquierda nos indica los «regionalismos». Podriamos medir una contra la otra para decidir como de similar es la región al resto de españa. Pero en realidad la pista importante es lo que falta: no hay una nube clara de hashtags frecuentes españoles que a los aragoneses le importen un carajo; esa nube tendria que aparecer en la parte inferior derecha de la grafica y, al menos en este caso, no ocurre. O al menos, no es demasiado visible. Podriamos intentar asignar coordenadas a dos muestreos separados, uno para la region y otro para el resto de España, y en cada uno muestrear el mismo numero de puntos.

Es tentador intentar hacer esta grafica para diferentes territorios, pero lo mas interesante es que ni siquiera tendrian por qué ser territorios; en vez de por geoposicion podriamos considerar dos grupos grandes de twitteros, y ver en que coinciden y en que difieren.

Veamoslo: la linea RQ es, se nos dice en el texto, proporcional a la fuerza y al intervalo de tiempo al cuadrado, y por tanto, dado que la fuerza aplicada en el intervalo de tiempo genera la variación de momento, lo es tambien a este último.

\(\overline {RQ} \sim F (\Delta t)^2 \sim (F\Delta t)\Delta t\sim \Delta p \Delta t\)

 Por otro lado, la linea RP (y tambien la PQ, claro, en el límite) es el intervalo espacial recorrido \(\Delta x\), asi que el area de la «figura indefinitè parva QRPT» es proporcional al producto de las variaciones de posicion y momento,

\({\bar {\overline {QRPT}}\over \Delta t} \sim \Delta p \Delta x\)

Por tanto, y quizas un pelin anacronicamente, podemos decir que la primera pieza de la mecanica cuantica ya estaba dibujada de la mano de Newton en 1684.

Naturalmente, estamos aun en mecanica clasica y esperamos que el area QRPT tienda a cero mas rapidamente que \(\Delta t\). lo que ocurre por obvia y gracia de la aceleración centripeta y, en ultima instancia, de la parabola de Galileo. Aunque en el uso inmediato de la figura Newton  no tiene que preocuparse de ello, porque el intervalo de tiempo, ley de Kepler mediando, es proporcional al area barrida, y por ello puede usar el producto de SP y QT en sus consideraciones.

\(\Delta t \geq f(\Delta Q)\)

Una estrategia valida sería tener un cluster de maquinas paralelas disponibles, en Amazon o en algun sistema de Cloud, para calcular la operación, y asignar máquinas al cálculo de forma proporcional  a la magnitud que estemos considerando: a más importancia del cambio, más nos podemos permitir gastar y más máquinas metemos en el saco, dividiendo el tiempo de cálculo total. De esta manera, al paralelizar el proceso, tendremos situaciones en las que el tiempo de tomar la decision se reducirá y en algunos casos llegaremos a situaciones de alto paralelismo en las que incluso sera inversamente proporcional a la magnitud \(\Delta Q\):

\(\Delta t \geq{K\over \Delta Q}\)

O lo que es lo mismo:

\(\Delta Q \Delta t \geq K\)

Esto es, un proceso meramente economico ¡puede estar afectado por un principio de indeterminación!

De hecho, este principio es bastante similar a uno del que me enteré el otro dia gracias al video de una charla de @EDocet.

\(\Delta E \Delta t \geq h\)

Y que fue propuesto por Sommerfeld en 1911 como idea para intentar explicar la emisión y scattering de determinados tipos de radiación: que el tiempo necesario para emitir tal radiación fuera inversamente proporcional a la energia implicada. Lo cual de golpe es anti-intuitivo, aunque en el turno de preguntas Poincaré, creo recordar, sugirió que habia modelos de colisiónes donde habia dependencias todavia más raras con el radio de las bolas que colisionaban. El asunto quedo subsumido en los principios de cuantización de Bohr-Sommerfeld, que eran para orbitas cerradas y por ello más faciles de manejar, y no tengo noticias de que se le diera más vueltas. Pero ahi estaba la idea, y cuando unos años despues Heisenberg obtenia con precisión matemática su principio de incertidumbre, no le pillaba demasiado de sorpresa porque sabia que estaba dando rigor a una intuición de uno de sus mentores.

\({V^2 \over r} = {F / m}\)

Moviendo la masa orbitante al lado izquierdo, podemos poner la formula en función del momento angular, y por tanto comparar directamente con la acción minima de mecanica cuántica, la cte de Planck \(h\) (y algunos factores multiplos de pi que siempre me olvido, y que me voy a ahorrar para este comentario)

\(L {V \over r^2} = F\)

El primer caso de interes es el electromagnetismo, o simplemente un campo electrostatico en tres dimensiones espaciales, poniendo \(F = K / r^2\).  El dato del radio se simplifica a uno y otro lado y nos queda

\(L={K\over V}\)

Ahora ponemos un poco de ciencia moderna: por un lado V no puede rebasar la velocidad de la luz, y por otro no puede ser mayor que la cte de Planck. Estas dos condiciones

\(L < {K \over c}; \;\) \(h < L\)

Son las que definen la cte de estructura fina, \(\alpha \approx {K\over c h}\), que cobra su sentido en la zona cercana a la  «saturacion» de las desigualdades, cuando el sistema es a la vez relativista y cuantico. El hecho de que la cte de estructura fina sea pequeña implica que el regimen relativista esta bien regido por la mecanica cuantica, tenemos «autorizacion clasica» para ir a momentos angulares hasta 137 veces más pequeños que la cte de Planck, y es logico que la cuántica tenga algo que decir, pues tiene que prohibir esos nivels. Por cierto, que si calcularamos el radio en función de la velocidad, veriamos que a velocidad c corresponde el radio cero.

Si la constante de estructura fina fuera de orden unidad o mayor, entonces ya no esta tan claro que tengamos algo que hacer con la mecanica cuántica: simplemente las reglas del electromagnetismo dejarian las orbitas estables fuera del dominio de la teoria de Bohr-Sommerfeld.

Otra fuerza interesante es la fuerza constante que se supone tienen los potenciales confinantes como el de QCD. En tal caso, no hay forma de simplificar los radios, y la condicion cuantica parece ser (con las unidades adecuadas para la cte de fuerza, K).

\(h< L < {K r^2 \over c}\)

Pero la condicion «relativista» es mas intriguante. El radio depende de la velocidad, a partir de la ecuacion inicial v^2/r=K/m, o lo que es lo mismo

\(r={m v^2 \over K}\)

asi que en realidad

\(L={K\over v}({m v^2\over K})^2= {m^2 \over K} v^3 = \)

Y en el limite relativista tambien el momento angular tiene un máximo, no un minimo (y de hecho se va a infinito). Nuestra teoria juguete «de cuerdas de Bohr-Sommerfeld» dice que

\(h<{m^2\over K}v^3<{m^2\over K}c^3\)

Y si la particula orbitante tiene masa en reposo distinta de cero, aplicamos \(m=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}\)

\(h<{m_0^2\over K}{v^3\over 1-v^2/c^2}<\infty\)

El resultado es llamativo. Para una masa en reposo lo suficientemente grande, los estados ligados cuanticos ni siquiera son relativistas. La cuerda cuantica relativista cobra mas sentido cuando la particula en el extremo es massless, sin masa en reposo, y entonces v=c. Dejamos como «ejercicio» el considerar qué pasa en cada caso con el radio del estado «fundamental» cuantico, esto es, el de momento angular L=h.

Visto por categorias, lo primero que salta a la vista es que el plan para escindir hep-ph y hep-th funcionó perfectamente. O que en efecto la separación era real, y de hecho todavia quedarian dos o tres pequeños pedacitos desgajados de hep-th que deberian tener otras secciones. Pero bueno, mejor id a verlo y haced vuestras propias observaciones.

El sistema ofrece dos coloraciones, por area o por antiguedad, y si conmutamos a la segunda el panorama cambia: hep-ex tiene un monton de papers brillantes, novedosos, y hep-th parece atascada. Y campos enteros de fenomenologia de dimensiones extras no tienen apenas nuevas luces. Esto de los hot topics tambien les ha llamado la atencion en http://www.theguardian.com/science/2013/sep/05/paperscape-universe-scientific-research-arxiv

Los hilillos que cruzan los espacios vacios entre areas no lo hacen al azar: todo el conglomerado de teoria de diagramas (amplitudes) apunta hacia un paper bien concreto: el manual de PYTHIA. Grupos enteros de fenomenologia se desparraman hacia los papers del descubrimiento del Higgs y en paralelo con ellos, otro hilo, mas antiguo, va desde una isla de hep-th a los articulos sobre masas y oscilaciones de neutrinos.

Por abajo, es interesante que la Mecanica Cuántica no deja de ser un aspecto más de Materia Condensada, como lo es la teoria de redes y sistemas complejos, desgajadas ambas, junto con bastantes otras, de la rama principal de cond-mat. Esto es curioso porque quant-ph fue desde el principio un boletin aparte, y hoy en dia hay ramas más separadas de cond-mat que la propia física cuantica.

Si os registrais en el modo «my paperscape», teneis una visualización distinta, por años y articulos, pensada para montar la nube de actividad de un grupo de investigación. Se pueden guardar los grafos y, con suerte si no van desarrollando problemas de compatibilidad, cargarlos mas tarde. Tiene pinta de que estan puliendo todavia detalles, pero esta ya muy currada.

http://arxiv.org/abs/1308.5619

«Shut up and let me think! Or why you should work on the foundations of quantum mechanics as much as you please«

por Pablo Echenique-Robba

Y como espero que muchos de los que llegan a estas paginas tienen ese «restless intellect», no me parece mala idea abrir el tema a ver que se oye en los comentarios, y aprovecharme de la jugada de apertura para exponer mi propia idea:

Puede que muchas de las dudas lo sean sobre los fundamentos de la mecánica clásica.

Esto parece que no se tiene en pie, porque casi todos los articulos de fundamentos se ponen a discutir páginas y páginas sobre el problema de la médida y el colapso de la función de onda, y muy poquito sobre la cuestión de la evolución de la función de onda. Mi sospecha es que es un efecto farola («lampost effect»); que es lo que mejor dominamos, lo de la preparación de un estado cuántico y lo de su proyección en otros y cosas asi, y que por ello nos ponemos a discutir sobre ello. Pero la explicación última lleva a intentar entender la relación entre observables clásicos y cuanticos, y si existen los primeros, y si hacen falta.

Una primera evidencia de que hay algo que no se entiende en la mecánica clásica es esta: que no funciona. Que la Naturaleza no la emplea. Y sabemos exactamente lo que la Naturaleza no traga; no tiene problemas -que sepamos- con el tiempo continuo o con el espacio indefinidamente divisible. Pero se le atragantan las variaciones de momento angular. No solo el momento angular total debe conservarse; ademas dos subsistemas no pueden transferirse una cantidad cualquiera, arbitrariamente pequeña, de momento angular. Éste debe ser un múltiplo de la constante de Planck.

En el caso de la teoria de la relatividad, la constante c viene obligada por la teoria de campos clásica: una vez hemos puesto las leyes del electromagnetismo, su incompatibilidad con las transformaciones de Galileo sólo se soluciona incorporando una velocidad máxima. Entendemos pues lo suficiente de teoria de campos para que nadie se llame a engaño en cuanto a la necesidad de la mecánica relativista. Pero la constante h no parece que venga obligada de ninguna parte.

Hay otros indicios de que algo suena mal en la mecánica clásica, pero son muy pequeños. Uno de ellos es histórico, cuando te das cuenta de que los inventores del calculo infinitesimal tuvieron muchas más dudas para aplicarlo a la integración de recorridos que a la integración de longitudes y volumenes. Ya en la antiguedad, Democrito resuelve la cuestion de los infinitesimos para el volumen de la piramide y no se atreve a aplicar la misma solución a la flecha de Zenon. Y siglos despues, Newton va retrasando y retrasando la publicación de los Principia, y en cada retraso retoca y vuelve a llenar de comentarios las secciones del libro I sobre la orbita bajo fuerzas centrales, donde el principal protagonista es la conservación del momento angular y la ley de areas de Kepler.

Otro indicio viene del cálculo númerico; es muy llamatico que el desarrollo de la precision arbitrariamente grande en los algoritmos de Runge-Kutta venga dado por unos árboles, que descubrio Cayley pero que emplea un tal Butcher en este contexto, similares a los que se ha descubierto que gobiernan la inserción de loops en el proceso de renormalización de la serie perturbativa de diagramas de Feynman.

La propia serie de Feynman es otra pista: viene de expandir la integral de camino, la cúal es un desarrollo que F. tomó de un argumento de Dirac sobre las relaciones entre la mecánica cuántica y la clasica. Venia Dirac a decir que un cierto objecto clásico, la transformacion de contacto, llevaba a usar el Langrangiano como mecanismo para transferir el sistema desde un estado en tiempo t a otro en un tiempo distinto t’.

La acción, el langrangiano, tiene unidades de momento angular. Supongo que en el siglo XIX los estudiosos de la mecánica clásica consiguieron solucionar el problema de la dinámica de un objeto cuando el potencial en el que se mueve no es de fuerzas centrales, y por tanto no se conserva el momento angular. Encontraron otra cantidad, basada tambien en el producto de posición y momento, que permitia realizar la integración del recorrido, o más bien encontrar el recorrido directamente mediante un principio de busqueda de máximos y minimos, al igual que en el caso del potencial central se puede encontrar el radio de la orbita circular añadiendo simplemente una fuerza ficticia y buscando el minimo del nuevo potencial. ¿Entendemos lo suficiente estas tecnicas de mecánica lagrangiana? Si funcionan, ¿por qué diablos la Naturaleza las rechaza y prefiere regularizarlas y suavizarlas mediante la cte de Planck?

Me pregunto, volviendo al principio, cuantas de las dudas que decimos tener de «mecanica cuantica» no son sino dudas respecto a todos estos procesos de limite, de extremos y de principios de máxima acción, que hemos pasado de entender y que simplemente hemos dejado para el curso siguiente, y ahora el curso siguiente ha llegado y nos ha sorprendido. Y ojo, que seguramente ahi habrá escondidas muchas cosas que sí que se entienden perfectamente en mecánica clásica, pero que queda más elegante, o menos vergonzoso, discutir diciendo que estamos hablando de una duda de mecánica cuántica.

Una pieza que se me quedó por ensamblar es el significado del principio de acción en mecanica clasica. Feynman lo entendio en una charla de pub con Dirac, en la que este le habló de las «transformaciones de contacto» y de su necesitdad en mecanica clásica, y de ahi nos perdemos en la oscuridad de la investigacion del siglo XIX. La pista de que tenga, h, unidades de momento angular, ¿significa que es en realidad la forma correcta de generalizar los potenciales centrales al campo de fuerzas genérico? ¿Es esta integral lo mejor que se puede ofrecer para minimizar pequeñisimos remolinos, cada uno cumpliendo la ley de campos centrales?

• http://bitcoin.sipa.be/ muestra como esta evolucionando la potencia de calculo de la red. Esto es quizas lo mas importante por dos motivos:1) la potencia de calculo indica el beneficio potencial de la contabilidad, dado que se reparten en promedio 25 bitcoins nuevas cada diez minutos, y estas caeran con probabilidad proporcional a la parte que tengas en la potencia total. Asi que no se saca el mismo beneficio de añadir una GPU al pool P2P cuando hay poca potencia global que cuando hay mucha.2) la unica vulnerabilidad de bitcoin es que una guild o un ordenador particular sea capaz de vencer en potencia de calculo al resto y por tanto decidir que transacciones se apuntan en la contabilidad final. Esto es porque en caso de split la cadena de bloques contables (de «hojas de Barcenas») mas larga gana, en lo que viene a ser una votacion proporcional al tiempo de cpu; en vez de un hombre un voto, aqui es un megaflop (o un gigahash, mas bien) un voto.
• http://blockchain.info/charts y en general todo lo de este sitio web, empezando por su dashboard http://blockchain.info/es/ con las diez ultimas transacciones. Hace unas semanas, nueve de cada diez eran operaciones de SatoshiDice, ahora el panorama ha cambiado.Las charts ofrecen un monton de informacion interesante. Por ejemplo el volumen diario de salida, http://blockchain.info/es/charts/output-volume y algunos filtrados de ello http://blockchain.info/es/charts/estimated-transaction-volume Parece que mas o menos se mueve lo mismo, a pesar de que cada dia los mineros añaden miles de monedas al tesoro. Esto podria avalar la teoria del acaparamiento (y la deflaccion famosa).
• http://bitcoincharts.com/charts/ tiene visualizadores de las cotizaciones (respecto a varias monedas, aunque no se si son simplemente respecto al dolar y multiplicar, o si toma el dato diariamente), y una opcion de descargarse la tabla.

Un segundo nivel, todavia sin hacer procesado propio, es tirar de la API de blockexplorer
http://blockexplorer.com/q No solo te da una forma de descargar las transacciones sin tener que installar bitcoind; ademas presenta las estadisticas basicas, promedios etc, que hasta pueden valer para tus propios gadgets en paginas web y tal. Eso si, anda el pobre un poco sobrecargado.

Por ultimo, podemos extraer nosotros mismos las transacciones, dado que bitcoind esta obligado al menos a conservar todas las que contienen pagos aun abiertos, y de hecho no les ha merecido la pena aun a los contables-mineros el hacer la purga de las ya finiquitadas. Asi que se puede ir sacando el JSON a golpe de

bitcoind getrawtransaction

La pregunta es, ok, ¿que hacemos con esto? Si solo se trata de mirar las ultimas, con darselo de comer a python seguramente vale. Si queremos analizarlas todas, tendremos que contar con sitio para 15 millones de transacciones y a razon de un par de millones por mes, gracias sean dadas sobre todo a los pesados de SatoshiDice, que generan cuatro por jugada. Total, que estamos ya en big data: Cassandra, Mongo, HBase, Redis…

Yo otras veces he probado con CouchDB y con Redis, que son bastante majas si tu intencion es ya de partida que este todo en RAM. De hecho Redis es mas bien una BBDD en RAM con backups a disco a intervalos fijos. Esta vez lo he intentado primero con Mongo (por eso de que tiene el mapReduce autoctono en javascript) y tras un rato de desesperacion me he pasado a Cassandra en una configuracion de seis o siete maquinas virtuales para acumular un total de 64 megas de RAM. Con eso se pueden sacar velocidades decentes de tres o cuatro mil operaciones por segundo. Me he encontrado tambien con que se saca mas velocidad con el driver de NodeJS (Helenus) que con el de Python (pycassa), aunque ninguno de los dos es capaz de usar multiples nucleos.

Postscript: Detallitos

• En algunas versiones de bitcoind y algunas configuraciones de unix, el limite de buffer provoca que  las transacciones muy grandes no se extraen. Una solucion cutre, para no marear mucho con xargs –max-chars y todo eso, es inyectar como comando

  echo {\"method\": \"decoderawtransaction\", \"params\": [\"$(bitcoind
  getrawtransaction 42f4500dec4c6f8cd41337767bdf7e2caa48c153ae2114334a645ac927d03766)\"] }
  | curl --user XXX:YYY  --data-binary @-  -H 'content-type: text/plain;' http://127.0.0.1:8332/
  | grep -o  ^...........................................................
  
  

  O algo asi. Ya lo he dicho, es cutre, pero te saca del apuro si te encuentras con este problema.

• Node es la repanocha para manejar el json, que para algo es javascript en el servidor… pero su tratamiento de ficheros de texto es un pelin pobre. A falta de coroutines, hay que poner en algun lado un emisor de eventos e ir procesando el texto en bruto. Tal que asi

   process.stdin.pause()
  var backlog = ''
  process.stdin.on('data', function (data) {
    backlog += data
      var n = backlog.indexOf('\n')
      while (~n) {
        process.stdin.emit('line', backlog.substring(0, n))
        backlog = backlog.substring(n + 1)
        n = backlog.indexOf('\n')
      }
    })
  

Cada uno de los quarks parece estar cerca de uno o ningun lepton:

• la masa del electron esta cercana a la del quark up
• la masa del muon esta cerca de la del quark strange
• la masa del tau esta cerca de la del quark charm

Podria ser que las masas de dirac de los neutrinos se correspondieran con los tres quarks que se nos han quedado viudos, el top, el bottom y el charm. Si asi fuera, habria que tomarse en serio SU(4) o su primo cercano, SU(3) y U(1) de B-L, y ver como se puede solucionar el problema, obvio, de que estas agrupaciones no tienen las cargas SU(2)xSU(2) adecuadas. De alguna manera los yukawa (las masas) deben ser ciegos a la simetria procedente de la quiralidad, lo que no dejaria de ser una curiosa venganza; recordad que ha habido que inventarse los yukawa justo porque las simetrias gauge quirales no son compatibles con términos de masa.