En el anterior post de epidemiologia de salon comentabamos la diferencia entre los ajustes por funcion logistica o por funcion de Gompertz y los ajustes mediante modelo SIR, en una de las versiones de Kermack-McKendrick.
Veamos cuando se produce el pico de infectados en cada uno de los modelos:
Para Logistic \(y» = \beta y’ (N – 2y)\) asi que tenemos un maximo en \(y=N/2\).
Para Gompertz $$y» = – b y’ (1 + \log \frac y k )$$ asi que el maximo ocurre con \(y = k e^{-1}\)
Para Kermack-McKendrick es otra historia. Para empezar conviene tener en cuenta que aquí la ecuación diferencial de infectados ha salido al despejar un sistema de dos ecuaciones, así que en realidad hay otra subyacente que tendríamos que considerar si queremos hacer cosas como diferentes condiciones iniciales, ajustes por tramos o alguna variación temporal de los parámetros. Para la ecuacion que hemos despejado, la derivada segunda es
$$y» = y’ (-\alpha (1+ \log(1- \frac y N )) + \beta (N – 2 y) )$$ asi que tenemos un pico cuando el valor de y cumple
$$ -\frac \alpha {N \beta} (1 + \log(1- \frac y N )) = 1 – 2 \frac y N $$ mientras que por otro lado el valor final del total contagiado por la infeccion se obtenia resolviendo
$$ -\frac \alpha {N \beta} \log(1- \frac k N ) = \frac k N $$ Por supuesto nos interesa la solución y/N que es menor que k/N. Lo interesante es que estas fracciones (o su cociente y/k) todavía dependen de los parámetros, mientras que en Logistic o en Gompertz son cantidades fijas, respectivamente 1/2 o exp(-1).
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