Muerte y Soledad

Sigo con la cuestion del post anterior, la de optimizar el cosechado de recursos en un juego simetrico de dos jugadores. Esta optimización se podria hacer a partir de considerar efectos finitos, distintas update rules y demas casuistica de los juegos de evolución, dado que la «evolutionary game dynamics» es más rica que el caso estatico, por más que este aparezca como límite si se dan las condiciones adecuadas. Muy recomendable el review de Roca, Cuesta y Sánchez de 2009.

Si no mencionamos otra cosa, asumimos que se esta jugando en el cuadrante superior derecho: Snowdrift, etc. Esto es S >0, T>1, R=1, P=0

Habiamos visto que para un juego (1,S,T,0) la solucion mas conveniente es el equilibrio del juego que optendriamos al proyectar el punto T,S en la diagonal S=T.  Esto es obviamente el juego (1, (S+T)/2,(S+T)/2,0). Dicho de otra manera, tenemos que desplazar el juego una distancia Delta

\(\begin{pmatrix} 1 & S+\Delta \\ T-\Delta & 0 \end{pmatrix}\)

que sería \(\Delta= (T-S)/2\) Una primera pista sobre tales desplazamientos la tenemos en el analisis de Ohtsuki y Nowak con juegos en grafos aleatorios. Si la diferencia S-T es bastante mayor que la recompensa R y el grafo tiende a tener muy poquitas interacciones de forma que su grado medio se aproxime a cero, entonces la estrategia optima se aproxima a la de acercar el juego a la diagonal. Eso ocurre para las tres «update rules» que estudian los autores: Pairwise Comparison, Imitation y Death-Birth

Una update rule que se limita a permitir a un solo competidor cada vez compararse con otro y modificar su posicion va a terminar generando una solucion mixed con p=1/2. Esto se ve facil. Hay :

• una probabilidad p p de jugar C contra un C y por tanto preferir cambiar a D, porque T > 1
• una probabilidad p (1-p) de jugar C contra un D y preferir quedarse, porque S >0
• una probabilidad (1-p) p de jugar D contra un C y preferir quedarse, porque T > 1
• una probabilidad (1-p) (1-p) de jugar D contra D y preferir cambiar a C, porque S > 0

asi que el equilibrio de la poblacion ocurre cuando p p = (1-p) (1-p), esto es cuando p=1/2.

Por otro lado, sabemos que esta solucion p=1/2 es la mas ventajosa cuando T+S es muy grande. Asi que hay cierta conexion, en el sentido de una ventaja evolutiva global, entre T o S grande en el cuadrante S>0, T>0  y utilizar reglas de update de grado de conectividad muy bajo, que fomenten p=1/2

(continuara en este mismo post)