TERTIA- In qua difcutiuncur ea, qu^ a Paulo Guldino e Societate lefu in eiufdecn Centrobaiyca. prxfsLtx Geometriae Indiuinbilium obijeiuntur, Fm easj>mnes , quas in hucufqi declara- , ratam IndiuijUnitum DoCirtnam diffi- cultates euulgarat Guldinus mente ob- t*oluebam,ac plemort rationum 'volu- mine^ qua refpon/ionisloco aff^errtpoffi "Videbantur retexere aggrediebar , qui- vimmo (ffp tam ip/ius Operis ahquot folta pralo comipjfemi repente mihi cum fama^ tumittterts amicorum nunctatum e fi ipfum de Geometria quidem beaemeritum fato concef fife . Indolui 'vehementer cum ob pubUtum Keipubltca lit- teraria damnumytumob mihi prareptam laboris ppne coa- feSii materiam y quam "viuenti conjeueram . Mors enim ipfa ingrato me (ilentto damnans multa •vetutt prodere^ quae dtferendt campus opportunior , d 'vixijfet , aperuerat . Vem rumtamen ty- eadem aboj necleutore me mailauit incom^ nodo i hiat entmja^umefi'vtcuma pluribus dtfira^us Z euris. Digilized by Goog[e 178 ExereitdthfTertUl turist tum *vt alter OeJtpus ptdtbus U(isy ae podagra claud* tisadbum/ceSphtttgis pmgmaudiffoluend* animum ntgli^ gentius intendens^tArduts qu»m mthi propofutr^m banc ttf» foofionem attulerim . lam vero , Leffor erudite , erit mtbi plenius faRum fatis tfiin eodem nulli me Vel odio^ 'velfuco obnoxium credideris . yentatts a ugmento enixe fi uder e ne-m mo non debet ^qut inter veros Matbematitos^ equorum certif^ fimp requiruntur ahoaEsez, recenjtri hauet, ^mmuis autem nihilfere a Guidmo in oppofitum aliaium fit, quod ip fi mibimet prius no obittirtm m Pre/attene Librt Septimi Geo. metri f hdtmfibilium ytaqi foluetm ratione, quam equanu mtter ludtcantl fatisfacere poffie Videbatur : qutnmmb tpfi» metquodamodotnanctpittpofitut ( cum neqs accuratiyneqs totam indiutfibtUum Geometriam yjed tantum exiguam tl^ Ims partem/e viitfii non fime l fateatur J nthil dixerit fi eontra tandem difiinittuc proferres quin (^amplius pro» pter rationes t» contrarium a fe produRas minime rejpuen» damcenfuertt Libro Secundo ipfius Centrobarycp , Pagina tertias attamen neprpfiantts butufie Geometrp auRoritate strca bxc Indiutftbtlta aliquabter dubitantis y fi quid ab ^fdem Vtilttatis io Litteranam T{empubbcam emanare po» teRy illud tenebris obrutum tUUtefcat » excufio diuturniora •XH terno y htc rai tones adglomeraut y qmbus ad 0 mnia ilbus obteRa raims fim abunde faRumsn fatis. Id tamen a me lae -tm ex aptas falno nomine prpclari hutufce Virt , cuiu r 1«. duRria non folum tn tnuentts iam abalqs tantum tUuRraa» eltSyquibns plerumque Vulgarts quadam glorta comparasur^ fid (it tn nouit dttegendis » pternum etia m pofl fata 'vtuet • Sed tepofirtmum 'veltmy LeRor btneuoUymbocputloqmo mo- Digitized by Googie InGuUinuml 179 monitum^ ntoptrophsgerts iaex^ainiHiis eius Qentre* burycf ebteSiiombus > huc ftdtU caUmo me ex eudem iredu- eeniUcurefse cjUAcum^i t^fe protulit centruhutuf modi /«• dtutfihdu» Hxc autem , rut ordtne quodam expendereuturf itbuit ia Se^tqnes XLll. diftnbueret qua per Capita ia fe^ queati Exercttattoae dtgefta fiagiUaUmexamiaaotur»ytea commodturad hbitumpoffts iatueri* VaULedori ^ eequi tonfule, C A P V T I. ’- '//» quo ff examen eorum ^ qUa feruntur a Cnidino in Seihooe prima ^ ac fecunda, CVm ipfc Guldinusin Aia Centrobaryca inta cium relinquens , ad fecundam Sei^ionem accedo, *qu£ talis «ft in eadem Pagina Tertia • Se^io I J. Reperi aut e in his libris Geometria promota AuSfo rem anfam arripuiffe ex Keplero , vt fuam non tam inueniret» quam ab vmbris in lucem publicam vindicaret methodum-» Jndiuifibilium qua tamen methodus quomodo purioris Geome- tria fudi^s pronetur non edicam j eam tamen propter rationes hic minimi importuno filentiofupprimendas refpuendam nota eenfeo . Galileus profecto in eodem Dialogo de motu locali dif putans de Infinito , de proprietatibus finitorum , quas infinitis applicare minime liceat contra ipfum concludit in hac ergo Senione primo dicitur mehuiufce Methodi In'd. inucniendf anfam arripuiffe ex Keplero. Secundo fen< tentiam fufpendit an puriorisGeometri; fludiofis probetur, Jieet eam refpuendam non cenfeat . T ertio vero citat contra me GaliJeiim in prefatis Dialogis . • Q^fiad primu ergo videtur hic Auftor amplius declara* K fc Libros didf Geometrif accurate legere no potuiflejvc ipfe fati, tur in Indice reru prf cipuaru Tomi Sccundi,fi enim cos qua congruebat diligentia cxaminaflet, tunc quor^; po* tuiffetanimaduerterequadiucrfa fioc vtriufqi methodi fun damera. Kvpletus enim cx mtnutisfimis corporibus quoda- mudomaiom coponit,iifq»vtiturtanqconcurretibus, qu£* admodum &ipfcGuIdinusafreritinfubfequenti Sedione Tertia , vbi ipfe tantum dico plana effe vt aggregata omniu lincarfi f quidiftantiu,& corpora^vtaggregata omniu plano rfi parirtT f quidirtantiu,vduti in Excrcit. i.n.7.8.9.cxplica. batur . H;c aut £ nano non videt quam fi nt inter fc diuerfa. Digilized by Googie '7nGuldinum,~ iSi ■, Dc eo , qtiod /ccundo loco dicitur amplius loquendi of- fertur occafio in multis , quf inferius attingemuri Quoad tertium deniq; , ctfi in mathematica Schola lege •vetitura iit lurare in veiba Magiifri» ita vt illius alumni pu- ram, ac finccram veritatem rerpicientes, ingenue iadtare folcanr. Amicus ptato,fcd mdgis amicAveritMs. (^apropter nec ipfe tenear quafcunt^i Galileus in Aiis Dialogis de mo- tu locali protulit concluAones(quarum nonpaucaslolu- modo tanquam probabiles Lediori proponere intendit) ■mordicus tueri . Atramen ne debita erga tantum Prf cepror rem per me videatur intermifla reucrentia, fquo Ledori connderandum propono Galileum loco fupracitato hfc duo Aiftincrc: Ncflipe continuum ex Indiuilibilibus com- f>oni, & fubinde lineam cx pundis, ijfq; numeroinfinirisj ineamqjdarialtcramaiorem jvtdidum Dialogum pcrlu- ftranti manifeftum erit. Concedit ergo aliquam inAnito- rum congeriem altera maiorem cirepoflc, quod non aduer- iatur,fcd fauet poAtionimef. Ne ergo admittatur hicin eodem Galilco exprefla contradidio.fortcnonincongrud dici poteftin eo loco, in quo ait proprietates Anitorum non efleinAnltisapplicabilcs, inaliofenAi deinAnito locutum fuifle, vt pote hfc de inAnito Ampliciter, vel in ratione totius, vt dicunt philofophi, fubintellexiircjcumcinihjl addi po/At; vbi inAnuis linearum pundis,quamuis inAnitis C cum non fint inAnita Ampliciter) poteft tamen iugiter A(> ri additio , vt per fe patet . = C A P V T II. De ifs i que dtfcMtiuntMr circa Sectionem tertiam ', TRanl eamus nunc ad Sedionem tertiam,qu( Acfeha- bet in eadem Ptf fatione Pagi 4*' SedioIII. Hic ergo Caualcriusficutus tam BarthoUma* ‘um Scuerufn , qtei Libro quinto dt Cur ut . acReifi froportiene promota , parallelarum , ac ^gurarum analogarum virtutes , ac proprietates trodtt, quam K epUru,qut pir rufaita plana corporaminust^ima matora componit ^,Ji quidem con.poutt‘) 1 1 videbimus Ltb. 4. cap.q. putabat fe fenfum attigijfe Aribtme- 1 8 1 ExertiutU TtrtU • dis , que ille fusi fteile quidem frBftnat , deminfiret /fintse., dr Uboriofi^mi per nouum iflum repslrnthnem^d’ fofis tonem facillimo modo demonftrarefe , ipfo etiam Archime- de confentiente iudicat. Sed hoc refellit Alexander Anderfo- nius Scotus , vt in loco patebit. Hos igitur Caualerius non fo^ Ium imitari yfed dr ea , que ipfi in paucis dumtaxat , &figiU‘ latim tantum perfecutifunt , ipfe generatim in pluribus Jmmh in infinitis y dr vniuerse itmonfirare conatus ejc. Plana autem illa K epleriana cum in punlfum omnia ydr corpora in axem coirent , minus ad rem facere vtfa funt Caualerio ; vtitur erga Itnets , dr parallelis planis indiuijtbtlibus , dr infinitis ^dequt il- lis concludit id , quod de finitis quaritur . Hievt vjdcs, benigne Lettor, nifi Keplerus fuificiat, adiungitur&BarthoIomfusSoucrus, ^ qu6di^aMetho« duslnd.dcfumpta ftiiffe perhibetur ^ cx eo quod in Libro iSj eft vt aliquod (pecimcn Mathcfts > quam audierant mc prcx« ficeritdfdeqi p> £bcrem>quo tali gnomone, ac regula mc vel vt idoneum eligerent , vel tamquam ineptum reprobarent . Vc ergocorund m luffis obtemperarem ^ijldcm mili eodem anno 1629. diCif Geomctrif7 Libros» etfi manurcriptos» attamen abfolutps , (imul cum meo Speculo Vftono, qu^ paulo pod in lycvtn edita funt. li autem nedum oltenfi fuere f. r. O^uianu Zambeccario tunc temporis lultitiae Vexillifero, fed & eius fucce flori Achilli Yoltf , alijfqi 11- luflnflimis Senatoribus, qui vt vana eruditione referci, n >n parum quoque MathanacicisSrudijs deleciahantur^ Eos quoe^; viderunt Exccllencilllmi Viri Mathefcos Profeflb- les Ouidius Montalbanus,Carolus Antonius Maiuimus» vt & C{far Marlilius,de Antonius Ma la Bonaionms.Qui- •ifitmmo& P. fiettmuseSocictarclefu , pr{c;^ceris eiufdem lucubrationibus Apiarijsillufttis, Alphomasdels^,lo^a- ptifla Parmeggianinus Archipr^sbiter Carpaneti in Agro Placentino, & alij quaplures(quorunonpauciadhucfu- perfutes exeat) Parm^ ante annum 1629. eofdeni abfotucos nonfemei perfpexerunt.C umtamenSouerusnonnihanno 1630^ publids.eypisuapp^ucrit. ergo fieri potuit vt cum Ecutus fuerim, qui non duffl pruceflenatadluccm ^ Sed elioquod Guldini rationes efficaciter conomeant meexKepfero, ac Soueto Methodum Indmifibilium inuc- nifle, propter aliquam conuenientiam» quam mei infinita lndiuifibiliacumminutiflimis,& infinitis corporibus Ke- . plerianis habere videntur, nec non figui ; analoga etfi ge- neralilfim^cum Ipecialilfi nisaSouero confideratts. Pari ergo ratione vbicumd» inter duorum Audormnprtnapia appareat aliqua fimilitudo» affinitas, leuconuententia, tunc cuidenter cochidere poterimuseum qui poflenus fert- pfit ex priori defumpfifle principia, Qtialemergofufpicio- nem fubirct ipfe Guldinus, cuius principia» (eu Regula ge- neralis , quam afierr pag. 147. & in qua cota illius Centro- baryca fundatur, adeo prinopijsKi‘plcriinSreieomerria Doliorum adhibitis aflimilantur > vt quod ipfe f^xiaticer ibi tradidit , rantum voiucrfatirer appareat extendifle Guf. dinumiquod bf c loca eiufdem Keplcriconiidcramtmanifi;- ^ ilum i84 Exercitatio Tertia» ' ftum fiet . Is enim in dida- Stercomerria Theor. i8. ^ ioh (]uic. Omnis annulusfeitioniscircnUris, vel elUptfc* ejletqnO/m iis cyli/idrOyCuius altitudo aquat longitudinem eireumfer entia ^ quam centrum figura circmnduita defcriffit , bafis vero eadem ejt cum fieilione annuli. Guldinus vero pag. 147. afferens di- j^am regulam generalem ait* filuantitas Rotanda ^ hoceft circulus, vei cllipfis in Theoremate Kepler; in viam rotatio- tionis duiia, nempe in periphf riam deferipta a centro, quod eff tam hgur^ , quam grauicatis , froducit poteftatem rotun- dam vno gradu altiorem pot efiatCyfiue quantitate rotata^ fei- licet producit annulum ffrictum,vel latum. Videat ergo Leiffor quam h^c fint fiinilia , & qua facili iuxta norma ab eo tradita dijudicari pofrctipfum ex Keplero talem Regula iibi conflruxifTe. Hoc vero amplius confirmaretur ex eo q» nedu regula, fcd & ratio, qua affert ciufde regulf ,qualif- cuq; fitjfimillima eft Keplcrianf.Etenim idc Kcpletus vi de- monftrft pr{diduThcor.i8.’bid6 »ic procedit. Annuloenim inquit ( infehemate 1 1 GCD. fed integro > ex centro fipatq^ A feci e in orbiculos infinitos , ED, co^ minimos , quilibet eoru tanto erit tenuuior verfus centrumyA quanto pars eius, vt, fuerit propior centro , A , quam efi,Ey& re(fa per^ F, ipfi, ED^ perpendicularis in plano ftcante ytanto etiam crafjior verfus exteriora, X), extremis vero diciis fcilicet, D,Syfimulfumptis duplum fumitur eius craffitiei , qua' efi in orbiculorum medio. Hac ratio locum non haberet fi orbiculorum, E,D partes ets lenia quamgrauis : vnde prxpoftcro ordine videtur fieri proceifus d Centro, grauitatis ad figurx folidat dimenfio- nem) vt facit Guldinus. Licet fi fpeif^mus ordinem |do« drinx id nihil officiat . His autem fubdit in Sedi. 5. huiuf; modi verba ibidem Pag. 7. Sedio V. Videt ergi Leltor Ar^o licet ' minus oculeus , lA Ium nm uttendiffe ud medium illud , cuius iffe meminit Ceu» trum graui tutis , id , qued ut nemo Geometrarum istfeiabittsTy fur it uti Geometria non fotum nthil derogat fed uuget illam, tir idufiratffic Indiuifdsilia illa ea ratione fumfta,& fler if que Philafofbis , & Mathemiticis omnibus aduerfantur^ Sotuth* nem iffe etiam admittit fed maluit cum Archimede integras, quam cum Euclide , & alijsfem^guras circttmducere ; ex quo feri fotuit, ut potius de Centris illarum , quam harum cogita-- tionemfufctperet. Itaque (fpra KepleriT ransformationihus, (fr pra Caualerq Indtuifbthbus Centrum grauttatis in Geome- tricis tam dudum rueptum palmam-feret , & reLiius Stereo^ metriam Archimedis complet, feliciufque Geometriampromo- uet, quam vel K ef Uti fgtur arum iuconfueta , ^ qua ipfa monftratione magnopere indiget , T ransformatto,vel Cauale- rq Indiuifibilia a Geometris nendumrecopta . Centrum graui- tatis intra fyncerioris Geometria Itmites confftit.pt di mque fi- gite' Tantum inierejbprirnisftxuliurisfelidumfuhftruere fun- damentum , fuper immotam bafm attollere , qua annorum ferre viret, & aliqua lacejjt ta, iueoncuffa durare pojfent . ltaq> fumma dictorum cft Keplenanair., Cauaicrianam* que methodum nutare ob fundamenti debilitatero . Dida Indi- <1 by Googie UGuldinum, 187 Indtuifibilia a Geometris nondum eile recepta , immd ple* rifquc Philofophis, & omnibus Mathematicis aduerfari. Centrum grauitatis firmiter hxrcre, per ipfiimque regius , quam per eorum methodum Stereometriaim Archimedei compleri, Geometriam felicius promoUeri, prae eorumque inuentis illud palmam ferre. Cui quidem Elogio libentius & ipfe fubfcriberem, veluti inuentam ab eo Regulam pluii> mi facio, fi eam aliqua meliori ratione confirmaiTet . Cum enim hoc fit maximum fui fundamentum non congruebat ipfum probabilibus tatum argumentis firmare, quod vt Re* . thoribus proprium,ita Geometris infiietum efi, fed demon, ftratiuis rationibus liabiliendum erat. C^od autem hoc verum fit manifefiat pag. 146. vbi verfiisi^em de fu a Re- gula generali, feu max mo fundamento hxchaber,nempc. it dUd demenfintione res hdc indiget .^ed fmjficiet fer indu- . lienem hoe iffum fi non in fingnlisJn fierifjj tamen^ qnMs de- fcribemus^MC etmf enemus Petefisuibus ofiettde%e, sutt certi efued nofirn innent d cnm dlifs dliernm dliter demonfirntis frd- cis} cennenidHt innuere , nel tdcite ettdm periti G cometrd in- dicio id relinquere. Quod & repetit Pag.174.dum dicit .JVe- quedme-ftmpultfime deenmtfirnrt neceffe putdmus hoc loco , cum (fi dliundh clstrif situi conflet P«eiflnt«m ^retmmdnrum qudntitdtum ex mftra compefitione ortum ducentium, cum eu prdcisi conuenire, (fiexdl3e, qudVeldb Arthtmede yVel db diqs,pducdrum licet ttfpeSln nefilrurumMio modo (fi inuentu^ (fi demonflrMd fl. ^ued tpfum fulcient er drguit veritdtem noflrdrum inuentionum vumerfulem 'y(fi mos n*c vitro , tum- qudmopnsfupererogdtionis y dnnellere volumus '. At beni^ gne LeCior , ft ratio d concordantia peciu cum aliorum Auctorum conclufionibus aliter oftenfis,futficit ad princi. pij ftabilitatem.ac veritatem indicandam,iuxta Guldinum: cur eadem concordantia, quf cernitur in Geometria Ind. iuxtaeudem fufficienter non aiguec huiufce Methodi veri- tatem? Cur neglegis tot Philolophorum ambagibus, tot litigijs, ab i)s ad Mathematicum tribunal eidem appcllan- tipro fui fundamenti veritate iplam Mathefim laturam e& fe fententiam haud Iperarc licebit. In eo autem quod fpe- ^t ad Philofophos , & Mathematicos , quibus h^c Indiui* A a 3 fibilia ifi8 Exmiutio Tmu* fibilia adueriari pronuntiauit Guldinus , fpero eosdem f quius de his fore dijudicaturos, cum accuratius, quam if>> K fecit, horum Indiuihbilium Methodum infpexctint , ac cxaminarint. Cumqiplures haud quidem gregarios Ma* thematicos horum Indiuinbilium cultores , ac fautores , in medium afferre po(Tem,hos nunc filemio prgtereundos efle duxi,vc , fponte patefa(^is eorutjidcm Reipublicf Uterahx perh^clndiuihbilia inueotis, illuAriora appareant ipfo- rumteAimonia. % . C A P V T . IV. » I Hijferitttr circa StCiWHtm 6.y.Z.&9* PRf fatis tamquam prfludij locoi Guldino prfmiffis ac- cedit nunc ad diA( Geometri^ dodrinam prcfTius ex- pendendatnjn eadem Ptffarionc Pag.8. primoqi aggredi- tur primam Libri Primi Propofltionem , eamq; nonfuifle redd abfoluta his probare contendit in Sedione Sexta, quf talis cA. . ' Sedio V I. A»teqn4rH autem a Caualerio dif cedamus , li- cet ingenium , conatufqueiffius merito iudtcem aterna fama praconium mereri , neque tamen integrum miht fit infftcere ^ multo minus diligenti teiUont vefiigasre , atque excutere iffius fePtem librorum grofofitiones ; vnam tamen in homine ad Ma. thematica , vt mihi videtur nato a natura quoque fido fodo , lectoris animum dimouere fofife iueUcaui^ ^ eft Prima totius O^rist ac proinde Primi Ubrt Propofitio,qua ftatim in veftibulo Operi sfibi ipfimet tamquam Geometra iniuriam facit , ^ qnsfi Ageometra ejfet , Prokema hoc foluit : Citiufuis figura flana^ aut folida^ua linea reda, aut plano pro bafi vtatuP , refpedn huius verticem inuenir e . Adnotethic Ledor Guldinum denuo fateri fe nonpo- nuiffe diligenter infpicere, dt excutere meas 7. Librorum Propoficiones . Reprehendit autem me vt errantem in dida prima Propr. tali ratione in Sedione Septima inquit tiem ibidem . Scc. VII. Rede quidem proponit, licet non verbo fedfche- mate Digitized by Googie hCulJtaum,'' 189 mMtefdilttm indicet figttrdm illam fiexmfd lined tffe contem* tam bafe exeefta . Ad quod dico non opiMfuiffe verbo cxpriorerc, quod per fc patebat ; neq> enim illa linearet e^c poterat , cum deberet cum bafi , qu? reda Aipponitur , fpatium compre- hendere, vnde necefre erarfleMiofam cflcJiisinScdionc 8. hfc in eadem Pagina fuperaddir . Sedio. VIII. Eftafane figura illa plana .^Parabota ,folida antem Comis , inott ipsi ut Problema confictatur ajjismtre tjnodnis extra bafem pmnitnm , per quod ipfibaji agatur re&at, fiui planum parallelum ; boc planum ftuc reila ait , t angit figtu- ram propsfitam , vel non : fi tangit punitum contaiius ( fupptM nit enim vnicum tantum eontaSus puniium tjfe) t rtt vertex quafitus , dr habemus quod volumus ^ < Aduertat autem hic Ledorme nonitaruppofuiUevnr* cum pundum conradus, vt velim lineam, vel planum tai%> gens in pluribus vnopundis tangere non poflTe. Sed vni- cum alfumpli , quia qtiod dc vno ^itur , de reliquis quoq^ fiibauditur. Deinde iic profequitur ibidem in Sedionc 9. ' -SedioVlIlI. Sed 0 Geometra cuius adiudicis vmam lis boa perarabitur Pandofme arbitros effe mauis.quam ab inteUe- [iu totam caufam cognofei i Si non tangit ^profequitur , linea duiia., vel planum fiue fit intra, fiue extra figuram , ad partem tllam figura, quam tonare poffitt ,paralleUterbaft moueatur tandiu ufqui dum tangat f^uram, df xttrfus punitum conto- itus oftendet verticemfed rurfus quaro quo indteie cognofeert queam, quando, & vbt figura tangatur > Non hac ratione, aut methodo decuit Euclides tangentem circulum ducere ; non hoc modo AppoUnius magnus iUe Geometra Stihomet Cenicast an- git . Corollarium utre huius Prepofittouts longius adhuc a uera Geometria reeedit,quaperjmilia nequaquam Promota fed Re- mota dici poterit, lure meriti ergo hac Proprie morofis ntcdm depulfis emniuo morbi fafiidijs , confiiitann miht librum e mot. nibus excujfit-, que tamen fiaufptce Numine prius uigor mem^ bris redient, auidius uerfabo , dr quid fentiam palam edt cam. Vttanto Igitur Guldini dubio lati5faciam,& ad huiuf- modi maculam (iquaeft eluendam, noto primo ex didaa Propofitionis dcuioollratione certirsime concludi, polsibi- Jc 1 90 Extrcitdtu TtrtU . leefTe ducere lineam, vcl planum tangens quamcunquc ob>' latam figuram . Si enim dida linea, vcl planum in prefup’ poflto ibi motu continue parallelo , nunc extra, nunc intrd nguram rcperitur,profed6 aliquando iplam tangere nccell fe cft . Nec ipfe Guldinus hanc pofsibilitatcm inficiatur, vc patet ex illius didis Pag.348. num. 4. > . Noto fecundo hanc pofsibiliratem toti meat Geexnetria; Ind. fufficere , vt illius Propofitiones perluftranti , vbi de vertice, vel contadu figurae fit mentio maoifcftum erit. Ia his autem , fi geometricam fcrupulofitatem attendere veli- mus, quotiefcunqi vfiirpatur terminas ducendi tangentes , f(u vertices mueniendi pro eo tantum poflibiiitaiem fubau dire debemus. Hoc eft perinde ac fi diceretur , intelligan- tur dudf tangentes, vel inuenti vertices, &c. talefque effe fupponantur. Quemadmodum & Archimedes Libro de Spiralibus etfi nefeiat quomodo ducenda fit tangens Spi- ralem in illius termino,fupponit tamen illam tamquam du- dam,& per hanc hypothefim rede ibi propofitum conclu- dit. Vndchaecpropofitio quamuis in modum Problematis propofita nihil tamen obeft didf Geometria? veritarU illi enim & taquam Theorema propofita ratisfacere potuif^* Tertio, & vlcmio concludo fuifse opus fiipererogationis ipfam proponere tamquam Problema , vt illud ea ratione ablbluerem, qua poterat abfoiui, fiuc fit abfolutio geome- trica, fiucnon. Quemadmodum enim fi quis peteret vt propofita quateunq; linea, feu magnitudo geometrici men- furaraur per aliquam regulam generalem, forti impofsibi- lepoflularct,nifiadfpeciesIinearum, feu magnitudinum defccndcret: iia in hoc Problemate nifi' defeendamus ad fpecies figurarum impofsibilc erit fblutionem proprii geo- metricam afferre. Hoc autem non negat iplc Guldinus, cum loco fupracirato afserat hanc folutionem geometri- cam haberi non pofse nifi dcijs, de qtterimortM, ac genefi conftaty cuiufmodi funt circulus, ac Sediones Conica? , in quibus Euclides, & Archimedcsgeomctrici lineas tangen- tes ducere potuerunt. Non ei^o carpere me debuit, quod rem non pr^ffireiim etiam illius dido impo(sibilem,(ed po- tius excu fare, quod illud ca ratione abfblueretentarim,quo Digitized by Google , laGuldmuml iblubile erat, & ocufe , ac manu,>necnoi^ocumqj alio ad hoc conferre podeti ia (ubddium accito ia modum Prob 1 c- matispropofuerim . . CAPVT V. - »quutu5. Sedio X. Bgre^'i fr$fea» iaeefit & deftderAtds fdrtet €9mfltre., (jrfite9t$dm ipftm excolere , & tdm rem preftitit , qitdtfn mmitis juueis in rutis habui Banduentur d Gdtidlerinsfiu ptriori libro i nobisfrodaUns ; Aream aimiram ixaeaire , ac cnfndtAtemtriMigaltritm qmornrdmis Sphxricortim^ datis ma^ gnitudimibxs nngttlornm fime fearsh» , sine simul fumftarunu Btiicecdeferemtenosadhmt Circmli quadratur d , illa ab- folute dari nequeat , eius tamen pttportiomem ad integram Globi fuperpiem elarifjtme demeer at, 1» Ofsere enim illo quod DirelloriumGeuerale V raaometrieum inferibity Parte Tertia, Caoite oHauo ,itanc traiUt Ftofofasonem. Superficies rphar* ad fuperficiem cuiufcunqueTrianguU fphartciia eadem de. feripti , eandem habet rationem^, qusp» quatuar reii i ad dimi- dium exceffusfumma angularumeiifidem tridguli fuptt duos reHos. Pulcherrimum fane dP vtilijfimum I uueatum, Caua* Urioque dignum , a quo ture merito expedandumfit quidquid stdhuc in Geometria hae Rotidi,fiue Globi desideratur. Ex hae autem Propositione tamquam Corollaria deducit proportionem prim» totius Sphara ad PyramidemT riangulatam , tuius ver. tex ceutmmfpheray basis veta triangulum in fpharica juper- ficie occupat. Secundo proportionem triangulorum adtnuicem^ Deinde (iptem proUematthus docet transformationem tnan, guli fpherici propositi in fuperfieitm int-^am alterius fpbaroi in ptperfieiam fedoxia eitfidern Sphata ^in Zanun Polartm, cp 191 Exifdtdth TtrtU . in non Poldrem , Zenaminpt^erfieiftn f emeriti PytdmiJit fm- pradt {i^m aliam Sph*rayd‘ tonde, (juod mireris ifsius T rian- guli ffharici Quadraturam. Siquidem quod fufra monuimue Quadraturam Circuli ptfPofueris. MaOe animo Caualeri, ^ ah illis infinitis I ndiuifihuihus^adfinit'a diuifibilia fiylu eo- aerte . 7 iht debetur hoc Geometria Rotundi fupplementum , qui at t ultfii d me dtu deerat um complementum Circa h^c nil mihi dicendum occurrir, nifi quod propter hoc tenue inuentum tot in mecollatis laudibus, caucndum illi erat, nc in Galilci errorem labcrcrur, quem priusin-' dicauetatpag.j. Libri Secundi} cuius tamen humanitati fatror mc plurimum debere. Poft hjc autem cum pag.32j'. rationem demonlitandi Kcplerianam rcdarguiflTtt ,eam4i dixiifet non efle omnino fpernendam, huius deinde reddit rationem , fubdens hec verba in SeiSi.i I. '' S cd i o X I ; // inc enim anfamr-arripmt & occafionem Bo». nauentura Caualerius fuam Methodum' Judiuifibilium , qua Geometriampr9m9tuuce^iudicat,prtducendi, sut ipfemet in* nuit iu •PrapmtueiUu/s>ltbri , de quo nos fufius in Prafatime ad Itbrum ftemtdumCentrobarycorum nefirorum, De hoo^uperius fatis ditium eft . Quod autem ihnuo ift. Pr^fatiqnc me^ Geometrif non eft me aniam , & occafio- hem attipuiiTe ex Keplero meam Methodum. inueniendi , fed tantum de ea iam inuenta periculum faciendi in ijs foli- di^^U^d Keplero in fua Stcreoraetria fuerant promulgata^) -•^ffcadempag. 325. examinat Audior -Theorema Ter-^ tium Keplcri in didia Stereometria ,.in quo nitituc probare tylindriim ad parallclcppipedumcolumnarercdiangulum. jqucaIium,quod cylindri corpus /iringitt^uadratisluisba-^ iibiis,=& paraildis lateribus, rationem eandem habere, \ quam circulus ad circumfcfiptuln illi quadratum , hoc eft. proximequam r I. ad 14. Dicit enim hocidcircoefse quia, priefara Iblida funt veluri quardam plana corporata , .vnde accidunt illis eadem , quxplanis.»' His ergo fequeotia ver-, ba ibidem Guld/niisrupcraddir in ScdlioneLa. Sediio XII. Quod uero fubiungit Cylindri , ^ columnam ejfe velut i quadam plana corporata, quamuis autem nimis bre- uit er difi um sit hoc pro viris Archimedeis, (fi EucUdeis, htne tamen . loGulMium»^ if| t4men C/utdUriHs pojl fimus jpectAMitnts , & emmfAu Ct fu* fiindims rem antemtUtus ejfes , in h*m undem demen it fen* teatimm , nempe na rem fmmm Unems , & pinna , nen ad inuu fem ceineidenna , vt facit Keplerms Prtp, 2 . fed aqmdtfinntia nffmmendaeife , quemadmodum hic^ voi per plana paralUla basi progreditur Keplerus . Hicdenud arguit Guldinus mc defumpnrse exKcplcro meam Methodum Ind.per plana corporata interpretas pia na baii parallela . Sed quam longe ablint harc ab ijs, quae in mea Geometria traduntur , agnofeent illi, qui eam fedu- 16 perlegerint . Etli enim iam inuetua Methodo illi ada* ptari po^it quidquid videtur cum eadan aliquid affinita- tis habere : prius tamen in tenebris latitabar, quam fi Ke« plerus animaduertiflct, & eam clarius indicai^et, ac eadem vfus fuifTet, quod tamen nullibi apparet. Subdit deinde ibidem in Sedf. 13. .SedtioXIH. Nefcit tamen quid CauaUrius dilimrus sit adhec , quod habet Keplerus T beor emat e quarto , quod nos de Cylindro Cono demonfirauimus Capite prae edenti Prop.2, •vbi poflquam demenftraffet Columnam Pyramidis aqnealtu. eatodemque basim. kabentis triplam effe : idem dicit ejfe de Cy- lindro , & Cono , hac fubq ciens . ~7 ' — Poft hf c aurem affert verba Kepicri eiuTdem Theorema- tis pro Cylindri , & Coni demonfleatione ab eo ordinata > moxqucfubiungit pro merefponfionem , fic inquiens . 'Rejfpondebit firtqffie. illum hic non vti planis infinitis ,fcd partibus corporeis sic fetnfuapermantrefenteniia. ? , Cui refpoiifioni & ipfe fubfaibo, hocq; taurum addo ex hoc Theoremate amplius apparci e polle di<^ plana pa- rallela longe abfuiffea menteKepleri,ad qu; fi teJpexifler, mult6melius,& vniuerfalius di^um'1 heor^ma de Cylin- dro, & Cono demonffrafTet , ficuti illum viiiucrfaliflime. oftendi Libro Secundo di^( Geometri^ Prop.a4.& ^d Se- . dtionem 1. Corollarij quartigenerahsPVop«>iitioui$34.vC> quoq; videre licet in Exercit. prima . At fi denirl^i concederem Guldino , quod toties inculcat, nepe mihi aliquid luminis ex Operibus Kepleri , & Soueri, adpiocedendumpcrh^clndiuifibilia parallela iiippedita- fib tum 1 P4 Extreitdtio TertU . tum fuiife (<^od tamen omnind negatur) eft ne h(c Aimnu lotius artiMi;huiurce Methodi ?nequaqua. Ea enimfterj*, lis, ficinfifcunda quodamodorcmannflcc,nifl miram ei« dem fcrtHtratemattuliilentadmirandf quadam Propofitio. nes, eiufdem peculiarem v/um declarantes. Pr; c^terisaub teminlignesiuntProp. 23. Libri 2. cum fuis Corollarijs, 3uf habetur quo<)i in eadtm Exerc.i.pag.46.&dequa ilferitur ibidem num.28« Sc Prop. 33. eiuldem Libri, quae inibi poAta eft pag. 6g. 8c per quam proportiones quat* cum Methodi Indiuifibilium nucleus concluditur, qu; vel nunquam didi Audores , vt ex eorum Operibus appa- ret, Ibmniarunt . .uir Poft fupradida examinat Cuidinus Pag. 3 27. fimolf il- lius Propofitionis Archimede^ dcmonflrationem Theor.6. Stereometriat a Kcplero allarS, quf talis cft. Conmexiffhi- riet$m ejl qimdtmfUmdreitcicrittimtxim. A\&i({iraxiQViC tamquam aoalogijs, & verifimilitudiniinnixa procul reie- da i rcfdt ie hanc Propofittonem , ob ipfius praiftantiam noovnomodotantu ,& ex iotrinfedsprincipi)s,red tribus ofteofiud demonflra^e. Deinde h;c proTequitur ibidem jnSec.14. l . SedioXiV. l>tmhxei^x /crifsiffemiH mentemvenit% viderem qttA rdtione itUm CxMdlerius demenfirMjfet maxreUffis omnibus ^ omnes singulas pugelUs feftemiu brorum Caualer^ cursim in/pexi ;fcd nihil referi ^neque iso Methodo I ndiuisibiltum fer 6. libros, & neque in feftimo sine illa, ^uamuis atuem libros illos accuratius ferfenderenec unimus, nec temfus, nec vires fuf fetant: Iffum tamen hanc demonftrationem omisijpe miratus fum , & flurimis fuis , ac incitis JneUuisibilibus,vnicum Indiuisibiledtoc ffi Centrum grauitatis ,tundiu frufiro , donec melioribus infruUus fen* t entium mutem. Nulquam egohifcelndiuifibilibusadcuruarum fuperfi- cicru menfuiam vfusfum , adhucqs incompertu mihi cft an adeas vfqi pertingere poflintjvndc egregium Guldini bpe inucmuni, quod ad eas pariter inquit fe extendere , perma- gni DigiiL^J Ly GoOgL InCuliiwm^ l$5 gni quidem facio, ac & pluris facerem, H aliquid profui Rcgul^ generalis dcmonliratione circa rotundas fuperHcies (upplcmentumattuliflcr, quo omni circa illius veritatem in iplis rotundis fuperHciebus vniuerlis ambiguitate Ledto- rismens expoliari podec. In hoc enim eiufdem Centrum grauitatispr^dare Indiuilibilibus fatendum edet, quema- dmodum in alijs quamplurimis illi pratdarc Indiuiiibilia, qui eade ffpius rite pertra^auerit , haud puto indeiabirur . Affert podremo Culdinus pag.^ji. in Sec. if. dc Kc- plcriana,acmca Methodo huiufm^iiudicium, inquiens. ScdfioXV. Scdvt dicam pMHcis qntdfentiMm^vt&ifiJt K eplerianam , & CaudUrij Methodum ( de Caualerif mod» hic qutctfuam decifum velo , rem in altud tempus fi Deus vi- tam ^ ac J unitatem dederit ^ referuans) iudtct ad iuuentienes Geometricorum T heorematum Problematum plurimum va. Iere fita ad demonftrationes eandem adhibendam efifiy si alia fuppetant Geometris iam probata media , nequaquam fuadeo • His ergo lndiuifibilibus,ceu qutbulda Canibus venaticis Geometras falcem ad inucniendum v t i pode , ad idq; pluri- mam valere condteiur. Verum fi huius dodtrinf principia falfafunr, vt ipfc Culdinus Pag.341. ad Prop. 2. probare contenditi quomodo in indaganda veritate, adeo fideliter, ac veraciter, vt experientia docet, ac cum aliorum inuentis concordantia , fe gerere folent ? deberet enim per hfc procedens dudiofus in paralogilmos pleruq; deuiate, quod tamen rc^e ijs vcenti numquam contingit . C A P V T VI. -..♦rV rV.:‘r^ % Difeurritur fuper Sec.xS.&iJ, CVminfuperioribus Senionibus AunorCentrobary. c^ quad perfunctorie circa meam Geometriam vctba fecilfet, accedit nunc ex profedo ad illius Methodi funda- menta examinanda. Quaproter ad earum di di cultarum fa« fligium ,qux ipfius pulfarunt animum iam deuentum ed,< quibus vt viam demeret, fic Libro Quarto Cap.5. Pag.3 39. prxloquutus cd in Scc.itf. Bb a Dum ip6 Ererd/afio Ter tu • SedtioXVii I>Hm ea omnia , ej$ia halfenttj /cripta funt Ctnferibits ^ pro •vt in Societate noftra moris eji^ tradtta e/fent^ in quibas inter relicjua., in Prafationibus prafertim libri Se- cundi , cr T ertift mentionem fecimus Bonauentura Caualcrijy dato iUo brcui temporis interuallo , quo /cripta recognofceren. tur , vcntt in mentem denuo infpicere ipsius Geometriam Pro- motam ; non ea quidem accuratione , quam mthi propefueram fofi editos hos tres de Centro grauitatis libros , vt in Appendi- ce deinde meam fententiam de illa promerem ; fed obiter tan- tum conjidtrare, ac perpendere, ^uod dumfaceremy vidi com- mode me apti^meq; & pojfe , debere LAure ^t^arto quatuot conflanti Capitibus, Quintum adiungere , quo per paucas ali- quas Propoftiones , ^ per modum quaji dubitationis prolude- rem , viamque fternerem futuro exa£Hon examini . > au- tem fentiamus de Prima PropofitioneJAbri Primi Caualerif , eiufqtte CoroUario' fatis clare eUximtapiu Prafatione Libri Se- cundi Centrobstrita n^n^i/ma cmm etiam reliqua , qua in Li- bro Primo coottimtntipniiffd nSc facimus ac cur at ion ea , vt di- nimus,cct^dorAtM^rtferHantes. Gradum ergo ad Secundum Librum facisnmd^'id>quovidetur AuHorpracipuaiacere velle tetius >dp0l0t0rina fundamenta . ^ , >,Bxmargo fatis intdligi poteft paulo hzc accuratiori ittigentia , quam /uperiora , ab eoprodu&a fui/Te . Adhuc fe «^bitaciuc loqtii , meaq; inoenta exadliori exa- mini abeo reicruari hic quoq; protcftatur. His tamen non obiiatibus, tran/iensad Propoiitionem prima in qua , Pau- ^ :ca quadam d Caualerio Libro fecundo pramijfa expendun- $*itur, talimeccnfura reprehendit, ficinquiens in Sec.17. ' SedtioXViI. Auclor nofler , qui Nouam fuam Geometria Methodum vocat Indiuifbilium nonnullis vifus e(l Metho- dum illam non fatis methodice prepofui/fe i immo qui non fo- Ium imitari conatus fit Bartholomaum Souerum ,fed<^ Do- ctrinam ipfius Lib.^. de proportione curui ad rettum promota , tra di tam (cuius nomen, quod ipfe miror, in G eometria promota apudCaualerium no inuenio) magis vniuerfalem reddtre, me- thodum tamen ipfius claram, (jr Geometricam non adhibuerit , fedrtsipfas Geometricas obfcuris quibufdam difiicultatibus inuoluerit, quod an verum fit, nec ne obiter tantum,(fr perpau- cis confidet are confiituimus , 1 ta q ; L:y Ccoglt . Ia Guldiaum • 'j, i py ' Itaqjin prf fatis verbis dicitur nonulloru fensu cxtitifle me nec methodice, nec elate, nec geometrice proccfliife. Verum ii prffati viri, no accuratius qnain Guldinns meam Geome- triam infpcxeriint , non miror cordem talia proferre. At Ii diligentius eam pcrluflrarunr , hos rogo vt quar hic refpon- /ionis Joco a me alfauntur, pariter afpicere dignentur. Eos enim non tam acriter ac ipfc retulit de hac Methodo iudica- fnros elTc (pero ! ■ i r , r • ' • * ' /\ ' ‘'Quod (i Guldino,alijfq; ab eo prf nominaris, qui forte veluti&ipfe non ea, qua congruebat diligentia, meam Geometriam obuolucrunt , illius dogmata vel non metho- dice tradita, vel obreuravifafunt minime mirandum erit. Siemmeorura, qui Archimedef dodlrinf fedulo incubue- runt, idem Girldinus te(faturPag.z89.<*V^ac Archimidis quasi obfcutitatt qUitclds defofutruut ^ qufs $»• ter K eflerus , qui ledtienem ipfius vocatjpinofam . Quod & Claui) , & Petri Kami dictis ibidem confirmat : nunquid il- lis, qui hos abditos Geometris receflus; illiufq; penitiora, inerti quadam, ac negligenti animi tenlione, hoceftnon accurate ferurati funt , hsc natura luaobfcuriinma clara videri pocuernnt?~Seditaac maculam vctbaDauidisRir ualti in Archimedis defenfionem ab eodem aliata, fatis pa- riter eluere pofliint , qus & ab eodem Gu Jdino ibidem af- feruntur , funt autem huiufmodi. Frofeilo de rebus fublimi- busy dr uatura fua abftrufisyfeiun^tifque a ctmmuni heminum captu u«» peteft qui f piam quicquam pracipere^uod perobfcH^ rum non fit ^fciltcet fi fi at im ebuium vno , aut altero uerw ex» cipiatur . Senfus ad infolita horrent, imaginatio hebefeit , in- tellectus obtunditur, dr iudicium difiicil} affentitur, vndt ebf curitas afiimatur. Praterca rerexmia propria methodo tra-^ di debent , ne fi facilius , quam par fit efferantur , contemptui sint. Raritas rerum,dr tiqnircndt difficultas illis pretio funt 'Vt meritifitmo iure praflates •vhidtninasfuasadtnuentiones, dr Archtmedeis similes emittant , decora quadam , dr venera- bili facie, tamen feuera, qna primo intuitu honorem sibi, dr ro uerentiam conciliet , ne fpemautnr . « ' C^iod vero geometrice non procclTerim, in fcc]uentibus reftatdircucicndum: de Soucro enim in fuperiorjbus fatis fuper^i I 198 Exercitatio TtriU, (uperqi di^utn eft, & non dcbuifTe de eo in mea Geomeiria. per me mentionem fieri pariter comprobatum . C A P V T VII. CoxtiHcns Self tomes i8. z9.30.ef 21. ACcedit nunc Au(5for noftcr propius ad examinandam Libri Secundi mex Ceometn^ dodrinam, incipiens a Dtrinitionc prima, qua Studiofus videre potcftin Exerc. prima Pag.d. contra quam fic arguit in Scc.18. Pag.340. Scftio X VII L Cum er^o Definitione primo Libri fecundi ponat inter duo plana parallela moueri planum , alteri plano fi- gurato inter duo tlla plana intercepto yinstftensyijfdem planis femper aquidifianter, de hoc plano moto, eiufque effefiu sic dc' Singula? reda? Jincae, qua? iu toto motu fiunt communes fediones plani moti, & data? figura? fimul colle- da?, vocentur Omnes Itnea talis figurx , &c. Hic ergo dubito, immo sine dubio pronuncio .planum motum nullam deferibere lineam , msi forte per duo extrema puncla . Planum enim mo~ tum cum ex fuppositiene antequam moueatur , aut insiftat plano . aut illud jecet in linea tantum, mota illa Itnea dtfcribct mhtl altud, quam fuperficiem , ut ergo fuperficies tUa stt geometrice loquendo uocari pofjit , OmiKS iin«.x talis figuif , hoc meo ludtcio a nullo obtinebit Geometra , numquam enim fuperficies uocari potefi pluris, uel omnes linea ,• cum linearum multitudo quantumuis maxima , no minimam quidem compo- nere queat fuperficiem : multo minus aimtttendum ejl Cor oda- rium annexum . Ad maiorem didfprimf definitionis intelligt*tiam fup- ponamus quadratum , per cuius duo qua?uis oppoiita Jate> rafint duda duo indefinita planaipfi quadrato perpendi* culariter ereda , qua? 6c confequentei parallela erunt. Rur. fus cocipiamus alterum iltorum arquidiftantium planorum moueri conrinuo ver/us reliquum, ipfiqj f quidiftanter, do- nec illi congruat. Hoc ergo motum planum quolibet mo- mento fccabitplanum quadrati,communifq,' eorum fedio erit reda linea per Prop.5. Vndccimi Elcra. Quapropter Digitized by Googie InCnldtnnm,. 199 fingula? rediaf lineat in tofo hoc motu vt fic in cfaio qua-, dratodefignabiles, fcu dcfcriptibiles , a medidf fuerunt in diita Definitione prima. Omnes Une* etMfdem quadrati . Sicuti fi pro quadrato cubum fupponainus, &inciuldcm oppofitis duabus quibulcunque factebus dulana. Quod autem dixi ea fieri in toto motu, -- ludi in omnibus inflantibus temporis, quo fit totus motus . Apud eos erum, qui fuflincnt continuum ex Indiuifibilibus componi.dcfcn- ptio diilorum Indiuifibilium erit defcripiio fuperficici . Apud eos vero, qui vitra hfc Indiuifibilia ponunt aliquid aliud in ipfo continuo, illud dicendum erit, deferibi in ipfo motu . Quemadmodum reuoluto circulo fuper rcila li- nea, cum eam quolibet momento tangat in puni^q, omnia illius pundla intelligenturconnotari , feudefignaria moto circulo in omnibus inflantibus temporis,quofit totus mo- tus 5 at ipfa linea in ipfo motu deferibetur . His Aibdit Au- aor pariter fubfequentia circa Def. 2. in Sea. Jf.& in ea- dem Pag. 34°* . Seftio X 1 X. Eiu/dem farina eft Definiti» 2 . cum fu» rtitario de omnibus f lanis fropositi f olidi, ait enim. Sirgula plana, qua: in toto motu concipiuntur in propofito fol do , fimul collega, vocentur plana^ro\>ofit\ fofim&c. Poterit aliquis in fua definitione uoc ari uelle^ lapidem cr ant- m*l fenstbile , hoc ut a nemine obtinebit , ita per motum illum ’ ' tum 200 ExercitdtioTertUl cum fdt f olidum t iUud dici numijuum cum ueritdte poterit omnia plana propofiti felidi . Nunquam autem ipfe dixi foIiduin,& omnia plana idem clTe, vnde hoc non eft perinde ac lapidem velle vocare anu’ mal fenfibile . Prorequitur deinde Au^or ficobijeiens Dc^ finitionirertiaeinSed. 20. Pag. 341. i SedlioXX. Sjtoddua pracedentes. Definitiones determu nant de Omnibus tineis reiiis in figura plana cemprehenfts-t fecunda de omnibus planis in f olido contentisd>oc vt^thi (juin dem videtur , definitio tertia concludere.vuU de omnibus pun^ ilis in linea contentis-, vt nimirum concipiamus rn tinea de^ ' ^ puffo aliquo, aut aliquibus, trifnus, ut ille uocat, hoC eflinmotu ,ut punBainiUa tinea vocentur .,Ommz pun^a tranfitus propolitf lineat* Vjerum bns tresdtfiniaoats nuBus admittere potejl Geometra, & multo minus Corollaria, qua de-- finitionibus anne&untur : Verbo fefe expedit Geometra , (fi" di"- cit, punitum , tineam ^planum , tn motufimptreffe in maiori loco fe, quod etiam phUefophi concedunt de omnibus mobili~. bus , & /ic punitum poftfe mn relinquit punitum fed tineam i tinea fuperfietemfuperficiesfokdnm. Abhoc uere mfolido Get-' metrarum fundamento nulla meunquam dimouebit Methodus- neque diuijibttium, neque Indiuifibitium,,.. \ Ad hsce nihil pnEcerfuperius allata addendum eftj non enim in his eft aha difficultas a praedi dis . * I^fthrecaggtcditur duo rcqhcnliia Poftulata , qua* vi- deat Ledor in dida Exercit. i. pag.14. vbi teliqux pariter habentur Propofitiones a Guldino examinatx . Dicit ergo in Sed. 21. in eadem Pag. 341. Sedio XX/. Pofi difinittimes {quas.omnes perpendere nolu~, mus)fequnturduo Poftulata . Primum nimirum . Congruen- tium planarum figurarum omnes tiqeas effe congruentes , (fi- fo- Udorum omnia plana ifiinteltigit fuper fidem congruere fuper. fidei, (fi" f olidum f olido concedtmus , de omnibus tinets , & omnibus planis , nihil fdmus , quod idem diilum volumus de Pofiulato fecundo. Ad liorumdilcuffionem iterum confideremus prxafium* ptum quadratum , cui aliud quadratum xqualc fuperpofi- ttuu intdligamuS) eidem congruens. Motum ergo planum '• • " pro Digiti? L-xj b' Coogie hGuUiaim, 20 ^ pro vna re^ duas re<^s fibi inuicem congrueres quofi- bec momento defignabk . Vnde quod de duabus ad libitu aflumptis veriiicabitur,de reliquis eadem ratione verificari concludemus. Sicnamq. in figura , quam volumus ofien- deredTecircuIumjafTumptisduabus vtcunque rc£tis lineis ab eopundtodudis , quod volumus probare effe centrum circuli, & ofiendenccs eas e(Tc atquales vni tertiz, de infini- tis pariter, qux abeo pun^o ad peripharriam duci polTune id tamquam probatum recipitur . C^a ratione ergo con- cipimus omnes lineas,omnia plana, eadem ratione congru- entiam apprehendimus , vel fi mauis dicere cbngruibilita- cem, fi ea omnia a^u alfignarentur . c A p V T. viir. ExamindntKr SeifhHeszz. 2 j. 24. POfi Definitiones , & Pofiulata procedit Guldions ad Propofitionesaliquas ex Libro Secundo examinan- das, & incipiens a prima, quf talis cft nempd. ^drumhbet fUHMTMm fip$rxrMm line» re6ti trMtfitus ; dr quarnmli- bet fohdATHm omnia fdana , fnnt magnitudines tnter f e ratio- nem habentes, fic initat contra eandem in Sec. 2 2 . iii eadem Pag. 341. Sedio XXI r. Hae Proportio abfclnti negatur , & hoc op- pono argumentum ; Omnes tinea , omnia plana , vnius sdterius figura fiunt infinita , infinita ; fied tnfiniti ad in- finitum nuda eft proportio . fine ratio. Ergo. T am maior y quam minor clara efi apud omnes G eometras , vt plurtbus ver- bis non indigeat. Ergo conclufio Caualeriana Propofittonis fialfia eft. Su bdit deinde. Vidit hoc occulattfttmus vir & ex Lyncea deficendens Progenie Benauentura Caualertus, quare demon- (trationi fubiungit Schoimm iic incipiens. Hoc vero Scho- lium ibidem & ipfe afierr. Recolat hic Ledor, quatfuperrus didta funt Cap.^.ad Sedtionem i j.vbi Guldinus fatebatur meam Methodu,qu9 profatam Propofitionem tamquam primarium fundamen- * cum fupponit , ad inuenciooem Theorematum , & Proble- Cc matum 201 Exereitdtit TertU. matum plurimum valere : fl enim illa abfolutefalla eft, vt aperti hic pronuneiauit, non nili falfas conclulioncs parere ' poterit, & tamen nihil adhuc falli ex tali methodo oriri ani- maduerfum ell . ne<^j oriri poterit, fi modoredlc, hoccft iuxtaprffcriptasregulasadhibeatur. Ad hanc autem difii- cultarem enodandam, concedo infiniti ad infinitum nul- lam elTe proportionem , fi loquamur de infinito fimpliciter, &vndequaque: at de illis infinitis, qu^ non funt vndc- qua^i infinita , fed fecundum quid finitatis fubcunt ratio- nem, dico polTe comparari ea ratione, qua finitatem for- tiuntur, cum ex ea parte illis polfit fieri additio , & fubtra- ^io, quod non contingit in infinito fimpliciter. Modo omnes linef , & omnia plana iam di^ funt de genere infi- nitorum fecundum quid, etfi enim quoad numerum fint in- finita , quoad magnitudinem tamen , cum fingulf line; , Sc fingula plana finita fint , omniumi!^: aggregata vndequai^; limitibuscircumfepta.quapropter claic intelle^usagno- fcat illis polle fieri additionem, & fubtra^ionem , quali- fcumt^i fit numerus Indiuifibilium , qu£ addi , vcl lubtrahi concipiuntur, idc6h;cpoteruntinuicem comparari. Hoc ergo in didta Prop. prima probatum ell , dum res ad huius Axiomatis euidentiatn redufta fuit, nempe. Totum eftraa» ius fua parce. ElTe enim h;c infinitarum linearum , vel pla- norum aggregata , non in fpatio infinito, fed finito, cum il- lud vndequac^i limitibus claudatur ( quoJ forte nulli alteri infinitorumgeneri cunucnir) efficit vt mens fine haelitatio. ne in his totum , & partem dilbnguat , quidquid fit de illis infinitis, qu; non vndequaqi lunc limitibus circumferipra , & in quibus idcirco rationem totius , & partis non tam cla- r^ dillingucrc polfumus. Si ergo appoluerimus ex. gr. pra^ confiderato quadrato aliud quadratum ;quale, nonne ma- . nifcftumcrit omnes lineas primi quadrati iterum fumi in fecundo quadrato , & ideo vtrafqi fimul liimptas vnius tS- tu efle duplas, licet vtriufq; aggregati numerus ignoretur? Hic enim perinde fit ac apud Algebricos, qui nefcictesi qu; fit, quam dicunt Radicem , Latus , aut ColTam , fcu quales . * ineffabiles radices, tamen eafdem multiplicantes , diuiden- tes &c. deniq; in quaefiti inuencionem quali per has obfcu- ras Digitized by Googie • tn GMioum, • 205. ras ambages manuducuntur . At contra id quod dixi , ma« gnitudincm nempe omnium linearum , & planorum &c. polTc comparari fic inuehicur Guldinus in Sec.23. Pag.342. Scelio XX 111. Z>icit ergo C4tialerins , non comparare t/nmernm omnium linearum , quem vt reile dtcit ignoramus , fed tantum magnitudinem, qua adequatur f patie ab ei f dem li' meis occupate, cum illi congruat : Congruentia qualis sit, ejfc^ pejjtt diximus Propef. pracedenti Num.^. Magnitudo autem^ qua adequatur f patio ab etfdem lineis occupato, duplex eft.aut ejl id fpatium, quod occupant Itnea in motu, & hoc ejl tota fum perficies propojita , quam Itnea per tranfit fine vlla dependentia d linea non meta , vel fiabtlt , hoc concedimus . Aut tft idy quod ipfe cuincere vult fpatium, in quo concipiantur effelinea indefinita (abhorret emm a vocabulo infintti ) qua Itnea eccu* pent tllud fpatium ; ^ negamus, quia nthil aliud occupant ni- Jilengttudtnes , qua omnes longitudines ,fimul fumpta nnm- quam ejpciunt fpatium ,fiue latitudinem . De cungrucntia dictum cll iuperius. Q^oad magnitu^i dinem vero , iuxea componentes Continuum ex Indiuili* bilibus, refpondendum erit magnitudinemoranium linea, rum oblatf pkm«'figunM(4)um , & idem die cum magnicu. dine , ruperHciei . At iuxta aliter fentimm , «oocedam pro fpatio ab omnibus lineis occupato , prefse loquendo, Intel, ligendum effe aggregatum ex meris longitudinibus , quaru lingulae lingularum linearum tamquam loca concipi pof- funt,horumqi locorum magnitudini dicam adfquanom* nium did^arum linearum magnitudinem . Hoc tamen non obftante euincitur propolitum : quia cum horum locorum, & fubinde omnium linearum aggregatum ex nulla parte excedat Hguram, cuius dicuntur omnes Iinc$,-fed eius limi, tibus coerceatur, idcirco illi poterit heri additio, vel lubtra. dio, & liibinde huiuftnodi aggregata erunt inter Te copa* rabilia. Hoc verd conhrmaueram in profero Scholio, quod habetur in Exerc. prima Pag.2 3. a partibus , in quas conti- nuu eh feparabile , etli enim ill^ lint inhnitf (cum Iit iuxta Philofophos diuilibile in lemper diurlibilia^ hoc tamen non obhantecontinuaeirecomparabiltaconcedumur. Vndea pari quamuis huiulinodi Indiuifibilia lint inhnita , non rol- Cc a letur 204 Mx$rcimkTertU» ktur tamen quin eorum aggregata fintadinuicem compa- rabilia. Cui confirmationi Hcoccunt Audior nofler in Sec. 24. & in eadem Pag.342. Scdlio XXIV. Refpondeo continui ejfe diuifibile in infini» tum, non nutem confinre fartibus infinitis a£lu,fed tantum in fetentia , qua nkmquam exhauriri fo^tnt \ partes aurem illa inter IndiuifibiUacomprehenfanofunt, nifiipfa ajftgnetur In- diuisibilia.lt a vt si afsignetur in figura plana vna linea, peri- metrum figura vtroque termino fuo attingcns,vel fecans, diui- det illa continuum in duas partes qua dua partes (fi componit fuum totum,(fi comparari poffunt cum alqs partibusfiue huius, fine alterius figurf fiui duabus fiue tribus, fiue pluribus per Mias lineas ajjignatis, qua etiam fimulfumpta componant fuum to- tum : quia partes tam huius quam alterius figura multiplicari poffunt , ita vt ha illas fuperent, (fi cotura illa has, quod idem de lineis ajfignatis, (fi fimul quoad longitudinem fumptis di£f» volo-, ac proinde ex definitione Sllfinta Quinti Elemetorum di- cuntur mabere inter fe rutionem . Et sic st fumatur aliqua con- geries , siue linearum , siue partium plana aheuius fuperficiei , erit illa finit a.j(fi inter fe rationem habebunt, linea nimirum eu lineis, & partes cum partibus, non autem linea cum partibus . filuare cum non detur , nec dari poffit congeries omnium linea- rum, aut omnium partium pofsibtlium , ergo nec proportionem inter fe habere ponunt, neque linea cum lineis, neque partes cu partibus, qua enim nonfunt, nec vUo modo eJfe poffunt, compa- rationem non admittunt . Plura , in rtapud omnes Geometras clari f rima , non addimus . His tamen nd obftantibus , dico fi comparentur inuicetn continua, pari rationeindiuifibiliumaggregata compara- ri pofie, nec obfiare quod adlu continuum non fit refolu- tum in Tuas infinitas partes. Demus enim ex. gr. quod pra;* fata, qux iuxtapoluimus quadrata, perimpoffibiledefado in fiias infinitas partes refoluerdtur, certe aggregata ex his infinitis partibus adlarefolucis non effent quantitate diuer. fa ab ipfis quadratis ,”totum enim efl aquale omnibus fuis partibus fimul fumptis. -Cum ergo ipfa quadrata fint com- parabilia , etiam illarum infinitarum partium aggregata efi {enc comparabilia.£rgo& Indiuifibilium licet infinitorum aggre- . Digitized by Coogie laGuUiaum » 205 aggregata pari ratione poterunt ad intrieem comparari, non cnun obftabit infinitas, vc & fupra alia ratione probabatur. Non cft autem ncccfle haec omnia adiii aflignari in cotinuo, vt eorum aggregata comparentur, fed fufficit iotellcdlum cx aliquibus numero finitis alTignat is , ipfa aggregata con- cipere, eorumq; proportionem tamquam ineffabilium radi- cum in luce extrahere, vt eam colligat proipfis continuis, feu figuris. Qupd in omnibus dida: Geometrif demonlira- tionibus liquido apparer,in cis enim affumptis tantum qua- tuor vtcumqi magnitudinibus cx infinitis Indiuifibilibus , quae forent confideranda , nempe ea ratione, qua decla- ratur in Exerc.prima num.a^.colligitur proportio quffita. Vtcx.gr. dum in Prop. 5. Libria.quf pofita cft in eadem Exerc. prima Pag.31. probare intendo parallelograrama ' 5qucalta efle vt bafes,duco bafibns parallelam vteumqj re- ^am lineam indefinita, cuius portiones in didfis parallelo- grammis conclufas oftendo effe vt bafes : cu ver6 fit eadem ratio de reliquis , hocqj intellectus fu fficienter compreheri- dat, abfq; eo quod fit illi ncceflc adtu omnia h?c Indiuifibi- lia in ipfis parallelogrammis alTignare , ideo concludo om- nes lineas dt^orom^pat^UeJogramorum (fubintellige fi om nes forent adu aflignatae & fubinde ipfa parallelogram- ma effe vt bafes . C A P V T VlIII. Proceditur a StSione a j. ad 29. iHclupue . AV^ornofter in fiiaProp.j.trafit ad examinadas Prop. a.& Tertia eiufde Libn Secundi cu fuis Corollarijs, vt Pag.343.viderc licer.Dicit enim in Sedione 3y.Pag.343. ScftioXXV. Pref(^tiofecmdaJicft habet . Aequalium planarum figuratu omnes line? funt ?qualcs, &a?qualium folidaru omnia plana funt ?qualia, regula quauis affumpta. Jam diximus omnes Uncas dari nonfoffe,fedne^ueperima. ginationem ajfumt , quare refpuunt ipfa aqualitatem , vel re- £hus illas aqualis as afficere non potefi . Si fermo effit de Itneis finitis numero aqualibus , ipsa jimul fumpta tn quauts figura feorsim , (fr aquales pojfent ejje^ (fi tnaquales , fro fptfi‘figa- rArum^ a o quare per ea , qua nulle mode funt , aut ejfe pefjunt , nthtl probare poffumus. Hoc pariter non aha refponfione indigtt . Pr jfatis vero continuachic Audor Scholium rubfcquensin Senione 29. Pag. 344- , . SerAioXXIX. Cum fundamentum pracipuum huius noua Geometria meo tudieio na fuifflat in hae Methodo vlterius pro hac vice progredt nolumus : ipfe vero Au£lor licet fua funda- menta adeo firma , atjjincencuffa in Prafatione Ltbri Septimi deprxdicetyVt velut adamantina fummorum ingeniorum tam- quam arietum iiHbtu pulfata , ne minimum quidem nutantia agnofeantur ,(fifubetit hoc deberi M athemutiearum dignitati. An td ego fufiicienter prafitterim , aliorum iudtcie relinquam ; vnicuique enim hac perlegenti , ex animi fui fent entia indica- re licebit . Hac fretus inuitatione aufus fum , ea , qua obiter occurrebant in medium proferre. prout fect haStenus : & adhuc fortajjts faci urus fum . C at erum ipfe pofi aliqua , 'qua ad pro- priam pertinebant defenfionem, cjr ego tnfupradiiits attult , eX aliorum mente Jic loquttur . Hic dicendi modus adhuc vide* tur fuboblcurus, durior quam par cA euadic hic omnium Ii* nearum,feu omnium planorum conceptus; quaprotcr hunc tu{ Geometriae, ceu Gordium nodum, aut auferas, aut fal- tem frangas niA diifoluas. Et paulo poft. Interim quahfcum- que mea fuerit illius {nodi) teiitatu diifolutio , ipAim tamen in prarlemi Libro , nouisalijs denuo Aratis fundamentis, quibus ea omnia, quae Indiuifibilium Methodo in ant>^ ce- dentibus Libris iam oAcnfa luor , alia ratione ab inAnitatis exempta conceptu comprobamur, omnino e medio tollcn- 20 8 Exfrehath TertUl dum ede cenfu t . I taque hoc Septimo Lihrt omnia ea , qua in prioriiuj fex libris fer Methodum Indiuijibilium probata siit , • iudependenter ab ea, rtouis alijs denuo Jlratis fundamentis pro- mittit f e demonjhaturum . Reli£iis ergo tantifper fex priori- bus libris, ad hunc Septimum infpiciendum,etfi qua occurrent • difficultates, eadem , qua fupra breuitate , gens Propodtionum eft numerus ex di^us fundamentis dedudiarum . Miror autem hunc Au^orem ex tot vel vna laltcm non delegide, quam odenderet expreise falfam ede, cum tamen in tot cocludonibus falcem aliqua falla ede de- beret, dearum principia falfafunt. His ergo cum eo inpo- iito dne, trandbimus in fubfequenti Cap. ad eiufdein exa- men Libri Septimi . C A P V T X. Expenduntur Selfiones 30. 3 1 . Ad eorum intelligentiam , qu£ a Guldino contra Li- * brum 7. me^ Geometria; afferuntur fatis erit Ledo- rem in Exerc. Secunda pro nunc videre Prup.primamdidi Libri 7. qua; ponitur Pag.88. qua; fupcraddica fuit, vtcdn. ceptus infinitorum lodiuidbiliu pofTec euitari, prout iuxta pofteriorem Methodum ibidem explicatum fuit. Ille ergo n Prop.4.&ineademPag.344. proponit fe velle. Siuidde pnmaVropofitione Libri feptimi fentiendumjit aperire , quare lic incipit in Sec.30. - Sedio XX X. In hac protofitione prima Aulferffc loquitur. Figura; planx quxcumq; in ijfdem parallelis cOiidituta;, in quibus, du dis quibufeunt^i eifdem parallelis squidiftan- tibus redis lineis , conceptae cuiufcunque red* line* por- tiones funt a;quales, etiam inter fe a;quales erunt. Et hgu- rae Digitiz^ by Googie In Guliinum» 20P rx folidx quxcumque in cifdcni parallelis conAicurx , in quibus dud^isquibuicumque planis cifdcm planisparallc- lis xquididancibus, conceptx cuiufcunquc ficdudi plani in ipfis folidis figurxplanx funt xquales, pariccr inter fc xquales et unt . Dicantur autem figur? xqualiter anaJogj, tum planx, tum ipfx folidx inter fecomparatx, ac etiam iuxta rcgulaSj lincasjfcu plana parallela, in quibus effe fup- poniintur, cum hoc fuerit opus explicare. Conatur hoc de- monftrare per fuprapojitioncm tam in planis , quam in foUdis , verum ftprtfse^ ac geometrice loqui velimus, mhil demonfirat. Nam cum ipfe figurarum qualitates non folum no determinet ^ f ed eas omnino irregulares , ac diuerfifstmarum fpecierumca- uas, plenas, inflexis, varqfque modis fefe habentibus terminis comprehenfias, ejfe pojfe admittat , quis nobis indicabit (loqua- mur primo de figuris planis tantum) quado altera alteri fuper~ ponitur, anfibi congruat ncc ne ? ^is erit iudex manufue , an oculus , aut intellectus ? Refpondebitur intelleClum fore iu- dicem (nam& ta6tus,(jr vifushinc excluditur) & ideo condi- tionem necefldria pofitam e[fe hanc ; vt xquales ,flbique corre- fpondentes linea relix sibi fuper ponantur , ha enim cum xqua- les sint, sibi congruant, inulUitu iudice . Fflo sint sibifupra- posttx , congruant , quid concludetur f Ltneas eJfe aquales Red hoc habetur etiam ex hypothesi , neque hoc queritur . Su- perficies inter reCtas lineas parallelas interceptas ejfe xquales? Nequaquam: mhil entm intelleClui conflat de bims alqs ter- minis , qui has particulares fu perficies vnd cum duabus reCitt parallellts comprehendunt , an fibi congruant nec ne, cum du uersimode inflt xarum Uncarum efft pofsmt . Sed quod de vna particulari fuperficie dicitur, de quthufuis df infinitis alijs par- ticularibus fuperfciebiis dicendum efi hrgo de Unets reClis tantum , nthtl autem di fuperficiirum aut planarum figurari propojitarum aquali tat e concluditur . Frgo , vt dixtmuf , pro- positum de figuns planis nort demonftratur . Obijcit eigo mc nihil demoltiare , qiua ego qualitates fi« gurai u no determino. Ad quod dico incomi enientcm hanc determinatione, quam per mc fieri voIuiiret,futuram fuillc, cum de figuris planis xqualiter analogis quibufcumqific ipla Propolitio. Quoad lupcrpplitioncin vcio modus prf, Dd feri* 210 Exercitatio Tertia . faibicur, dum prfctpicur extrema tangentia figuras femper in extremis tangentibus e(Te coftituendai & no aliter. Cum vero petit quis fuperpofitionis futurus Ht iudex . Refpon* deo intclle^um y cui ex hy pothefi conflat Heri aliquam fu< perpofitionem > quomodocumq: illa fiat , dumodo ea iuxta ptf feriptam legem effeda fit. Et cum fubdir. Ejlofintfttftr- foJit*y dr cOMgrnant quid concludetur ? lineas ejfe aequales? Dico non hoc concludi, fed pai tem figurar fupcrpofitat (ni- li primo tota toti cogruat) parti eius, cui fuperponitur con- gruere, quateumq; pars illa fit, fatis cnim ell intelledui fup- ponere neriahquam fuperpofitionem : vnde non eft necefr (e eidem innotefeere binos alios terminos parallelarum, qux fuperponuntur ; fequitur enim ex hypothefi aliqua partiumcongruentia,quicumqinnt didi termini . Fruftra Igitur adduxit incoueniens de lineis re<^is tantum hoc de- monflrari. Pergit tamen ipfc in eadem Pagina ficdifcurren- doinSec.jr.. SedlioXXXI. Sed dicet firtafsis Demonjtratorfe tot dn» gere velle lineas , immo iam duci as fnbpon er e , qua fnferjicies illas interclufks abfnmant , & in nimium redigant , aut tam iaruasepciantyVt pro nihilo habend* sint y sic manf uram Ulam aqualitatem figurarum , quam demonftrare propo fuerit . Et ego , qui hoc fecerit , refpondeo , na ille erit miht magnus Apollo y non autem magnus Apollonius :femptr enim alq duo termini, quivna cum par alitus redis minimam illam , quam Ule putat , fuperftciem comprehendunt , infinita fufeipiunt punda , infinitafque terminabunt redas paraUelas , qua om- nes nullum vnquu confit uent fnpcrficiem ; ac proinde nullam abf umete, aut anihilare poterunt z diuisio fuperficiei in aternu fieri potent i» partes, qua omnes simul fumpta ,femptr paratf funt componere, & refiituere fuum ab initio indtuifum totum: linea duidentes nihil conferunt fuperficiei , aut ab eadem au- ' ferunt. Et sic redire debet Dem^jirator ad argumenti proxime propositu fo luendum. T ranfeat dicet aliquis quod ex fupr adi- dis minimam fuperficiem exhibere non pofsim , exhibeo t^ men aliunde per meas lineas paraUelas fuperficiem minorem quacumque proposita :(^stc conclusio erit ex parte mea ; afii- mabitur enim ea, eum minor dari non pofstt fuper fides iUa,qu£ Digilized by Google In Guldtnum . 211 per meds frequentes parallelas eo deduxi ,f vperfscies mtntma ; hoc eft linea:& ssc ex hoc capite habeo quod volo, erttq\ figxra tota figura toti aqualis, ^od trat demondr audii. Feftina len- te. Dabis quidem fuperficiem quacumque data minorem fed numquam talem , qua fet minima , velaqualis hnta ; vrget enim adhuc fuprapofttnm argumentum , quod per hoc non fol- uttur , quia tua illa , quam tu 'vocas minimam fuperficiem , tu ipfe minorem dare poteris , qua eficiet vt illa prior non fit minima , neque pofterior hac ^fedfemper fuperjit id ,per quod minor adhuc detur . Pluribus enim in locis , ^ Archimedes , dr plures alij puriori Geometria addiiH , demonftrant propt- Jit a figura infer ibi poffe , (fr circumferibi alias figuras , it i vt circumf cripta figura excedat inferiptam magnitudine , qua minor fit quacumque eiufdem genens magnitudine pro- pofita . Ergo concludunt circumferiptam aqualem effe inferi- pt*? Neutiquam ffed alio adhibito medio termino demon- Jirant figuram illam , cui circumferiptio , (fp infer tpt io faila ejb ^aqualem ejfe cuidam alteri qua minor quidem jit circum- feripta , maior autem infcripta . Concludimus ergo ex his qua attulimus Propofitionem hanc de Planis figuris nequa- quam legitimi demonjfratavrajffi . Hic ergo denuo conatur Audior nofter Lcilori perfiia. deredidam Propolitioncm primam non fuiflTeamcl^iti- me demodrata, Kd(quod illius pace didum Hr) c x diicur- fu parum, vcl nihil ad rem noftram pertinente, vt is facili ' intelligctquiameallatamdemondrationcm rcdcperpcn- , derit. Nufquamcnim ita procefTi per didarum linearum aiqualitatem, ceu continiui voluerim per ficquentcs lineas parallelas feindere in minimas particulas, vcipfc purauic. i Sed fuppoftii in prima figurarum fuperpofitione faltem ca- v^ ruin partem parti congruere, 'oftendiq; reiidua cflTc qiioq; figuras fqualiteranalogas. H?c vero reiidua iterum eadem lege dixi elTe fuperponenda j & fi adhuc tora figura non congruat toti, probaui adhuc remanere refidua arqualitcr analoga, & ficferaperficri, continuata fupcrpf>fitione. Vn« de fi aliquado vnius nullum fit refiduum , neqj fore refiduu alterius, figurafq; inuicem congruere concludo, & fubinde . xquales elfe. Ab his ucro quam diuerfus fit dilcurfus huius ' ' > , Dd a Audo- I 212 Exercitatio T ertia . , Auctoris quiuis facile intelligcre poteft. Non ingnoro ta- men pr^fatj demonftrationi obijei poHc, quod dicta fuper- pofitio , quar per frufta continuo facienda cft , in aliquibus ’ figuris numquam forte abfolucretur i nefeimus enim, qua:, quotaue fit pars illa figura: fuperpofita:, qug alteri in fubie- fia figura cogruereintclligitur. Eademq; inftantia fieri po- terat circa Prop. primam Libri fecundi , in qua fit fruftatim ha:cfupcrpofitio,qusfi per continuos adus fieri debeat forfan in aliquibus figuris numquam finiretur, cum hinc frulta numero infinita videantur in continua fuperpofitio- nc fubotiri poffe. Verum hanc difficultate non animaduer- tit, nccin oppofitum attulit Guldinus, qua: magis ad rem fcciffet, quam fuperius ab eo allata. Huic tamen vt fatisfa- ciaro,dico non neceffe effe adu efficere hanc infinitorum rc- f»duorum,qua:obucnire pofTunt, fupcrpofitioncm (ficuti- deomnibus lineis in difculfione prioris Methodi Ind. dice- batur non opus effe fingulas adu deferibere) fed fufficere quodintellcdus ex vnaad libitum alTumpta reliquas intel- ligat , quamuis infinitas, faltem conceptu negatiuo, cum fit eade ratio de omnibus . Si enim ponamus per impoffibile has fuperpofitiones abfblui,hoc eft continua fruftorum ab- t lationefada afigurafuperpofita,de ea tandem nihil rema- fiffe, neceffarid iuxta habitam dcmonflrationem fequetur i nihil /upercfTc refidui in figura, cui fit fuperpofitio . Ex quo rede hic infertur figu ras ?qu aliter ana logas, & ibi om- nes lineas atqualium planarum figurarum, atquales effe. Si enim in fquales effent, confumptis per fuperpofitionem al- terius fuperpofita: frudis, licet hoc fieri j^r infinitos adus fuperpondetur, nihilominus aliquid refidui pofTet remane- re in figura cui fit fuperpofitio, fi illa maior cflet,quod tame euenke non poffe euincitur per didam demon firationem . ' Hoc vero de omnibus lineis fuo modointelligipotefi. ,1: ■■ ' 1 c/u < I ■ Di^itized by Googlej I /« GuUhum, C A P V T XI. air Fusiks hic dijferitur circa Suiiancm 3 a. ALiam inftantiam aflTcrt Audior contra cande Propofi- rionem primam /ic obijeiens in Sec.32. Pag.346. SeClioXXn. Sed ^ aliunde hac , cfMavoeatur dimon~ Jlratio , dcmonftr at io non ejl ex ipfo^quem adhibet dcmonjlra- tionis medio termit$o^qut efi fgMrartim fttperfofttio ; de quibus multi quidem multa , fir tandem tamen ea faucts probatur, quando res ipfa altter demonjhari ptteji . ^ando i'er'o reci- pitur , certis tantum conditionibus recipitur, id quod pauci fa- rnis verbis tradit ntjlcr Cnftophorus Grtenbergerus ad Pronu» datum Libri Primi Elementorum, quodjic habet . Quas fibi mutuo congruunt funt arqualia. Debet autem, addit ille talis congruentia conflare i ntclledlui . SliL* congruentia iit hac demonftratione inte Ile flui non patet, cum fe vitra f quales rePlas parallelas non extendat . Stc Euclides quando vfus efi hoc Pronuntiato Prop.q.Lib.i. Elementorum, nonfolum aqua- les lineas reCfas fmprrponit aqualibus lineis replis , fed tales etiam, qua aquales continent angulos , vndi intellePlus iudi- care potefi easjibi congruere ^c.fed quid dicemus de fuperpo- Jitione corporum , qua adhuc magis intellePlum fugit ? in quu congruentiam aliter imaginari non pojjumus . quam per pene- trationem , vt fingantur corpora fejlt mutuo penetrare , vt Jic tam foliditasfoliditati,quamfuperficiesfupcrf ciet, dr alqtcr- mimini alifs/ibi aqualibus congruant,quodinhac AuPloris de- THonf ratione non fit ; confiat enim folum de congruentia pa- rallelorum planorum , de reliqua fuperficie , dr terminis altjs prorfus nihil inuenit intellePlus , in quo conquiefeat . Vfus quidem efi Archimedes hac fuper^ofitione Prop, 2o.de Conoi- dihus , dr Spharoidtbus , fed longe aliter quam nofier AuPlor } Archimedes enim aliam ajfumtt figuram , qua propofita per omnia fit aqualis, dr fimilis , dr eodem prorfus modofePlam,(^ fuperpofitiones fiunt femper magnitudinum aqualium , ita vt de congruentia dubitari facile non po\fit . Verum hac ipfa de- monfiratio non videtur arridere Geometris , Commetator enim , Atm Dicjlii^c^ \jOOgk 214 ExerciutioTertUl Archimedis Fed. CommaneUnusfilentio illam prattrit ; Rinah- tus vero illam tamejuam Archimede indignam omittit , eiefue aliam a fe excogitatam fuhfittuit y vt monuimus in SchoUo Prop. ^.Cap. i.Ltb. huius y (jr eandem aliter etiam nos de- monjlrauimus eodem in Loco Prop.6. Pronunciamus ergo fecun- db Caualerium hanc Pr^ofetionemytiua tamen huius Uhri fun- damentum quoddam effe videtutytam de planis , quam de foli- dis figuris legitime non demonfttaffe.PropoJitioni huic ftquens fuhneftitur Scholium ; Cum antecedens Propo(itio maximi /it momenti, vt m /cquentibus apparebit , aliu/quc mudus priorem partem dcmonftrandi , /tylo Archimedeo haud abfimiJiSjmcntifuccurrcrit, idipfuin ne pereat in Lemma- ta di/lributum hic/iibiungere placuit. Lemmata ergo, dr ipfam indededultam demonjirationem breuiter examinemus. Hic ergo i nuchitur Audtor iltc prius contra mutuam fu- perpofitionem figurarum in genere, pofterius vero in fpe- ciecontraadhibitam in prasfata Propofitione, quam etiam ex hoc capite non fuiflfe Icgitimd demon/iratam abfolute pronuntiat. Priusigitur &jpfede fuperpofitione in ge- nere , pofterius ver6 de hac fpeciali , difeurram . Et/i ergo ha?c fuperpo/itio aliquibus minus arrirerit , allj tamen prte- /iantes Geometra; ip/am appeobarunt . Vnde Comman- dinus in Commentarijs in Euclidem Libro i. & ad Prop. 4. lic ait . Hic demonftrationis modus , qui fit per fuperpofitio- nem figurarum, praterquam quod approbatur d Proclo mathe- maticarum fcitntiarum peritifjtmo, ejl etiam maximo vfui Mathematicis . Archimedes enim eumvfurpatnonfolumin planis figuris , vt tn Libro de centro grauitatis planorum y fed etiam in folidts y vtin Lib.de Coxoidibt(s, dr Spharoidibus. Hoc vero neque inficiatur ipfe Kiualtus, qui hic in oppo/i- tum citatur , etenim in Scholio Propo/itionis 20. Lib.de Conoidibus,& Spha?roidibus inquit . Sunt jn.qui fuper- pejitiones illas reijciant in Geometria (quamquam alij , (fi viri graues admittanty(fic.)Q^\ tamen nequaquam eas refelle- re deberet: vel enim dcmonftrationes , quie fuperpo/itio- ne vtuntur , putat e/Te certas, & infallibiles, veJ non . Si pri- mum, quemadmodum in Prolegomenis Commentario- rum in Archimedem non diftinguic inter nobilitatem dc- * mon< In Cnidinum» 21 5 nonArationisoftennuX) & ducentis ad abfurdum» quia inquit ibi, Mathcmaticx difciplinx non vtuntur caufis rei, fed cognitionisrci ^quapropter poft paiica.verba fiibiun- git. Vade fit vt qttodcMnqtte cognitioni finerit magis conftn^ tantum^ Mathematicis magis conneniat : ) A pari debebit fupcrpoficioncm admittere tamquam certam parientetn feientiam. Si vero credit fecundum, erroneam ,& falfara hanc ao.Prop. pronunciare debebit, quin& eas omnes, in quibus adhibetur circunferiptio, & inferiptio figura- rum circa oblatam figuram , qux videtur cfie quxdam fu- perpofitio. Idem quoque negabit Prop. 4. Primi Elemen- torum, & confequenter eas omnes, qux ab illa pendenr. Sic & nofter Audlor^i idem fentit, falfitatis arguet eas om- nes, &ab cis dependentes, Luex Valcrij Propofitiones (ab eo infigniter laudati) in quibus & ipfe fuperpofitione vtitur. Quod fi quis diceret nec Riualtum , nc<^; Guldinum ne- gaturos effe didarum Propofitronem veritatem, ac certitu- dincmjfed cum fuperpofitio quid mechanicum redolear, vt inquit ibidem Riualtus,quadocum^j id fieri poflit , melius eficab eadem abftinerc-. Huic fic obijeienti rcfponderc poflem quemadmodu ClauiusPeletariofiiperpofitioncm damnanti refpondet , inquiens . Nam non fatis intellexijfe •videtur quo fa£io Geometra fuperfojitionem illam vfurpent , Ne^i enim •volunt reipfa faciendam efife figurarum fuperpofi» tionem{hoc enim mechanicum quid eyet)fed cogitatione t au- tumnae ment ecquod ofus eft rationis ^atq. inteUeBus . Vbi in- quit illam idciico inThconmatibus valcre,fed no in Pro- blematibus,& paulo poft fubdit . Viderat Petetarius ( neq; enim rem adeo manifefiam videre non poterat ) fi hunc modum argumentandi , idelt per fuperpofitionem , e medio tollat » vntuerfam fe Geometriam funditus euertere (fi-c. Quapropter mirandum cAhos Auctores obhanc rationem ab hac (u- perpofitioneabhorrerc,quomodo enim mechanicum quid redolere dicemus, quod in euidetillimo hoc principio fun- datur. Qt^xfibi congruunt funtxqualia? Neq.enim quia familiaris cA artificibus hxc fuperpofitio, qua congruen- tiam oculo, vcl manu iudice agnofeunt, putandum cR idem 1 1 6 Exercitatio Tertia • idciTiin illa Geometrarum fuperponcione contingere^ in qua non alius eft iudexquam intelle^us, itaut per hanc illa quodamodo infici, & labefadari pofHt . Nunquam enim ille affencicur duas magnitudines inuicem congrue- re,nifi ex prsrruppohta quorumdam ataualirate,ac mutua, ticbitaq. fuperpofitione , & fubinde ipioru neceffaria con- griiema, iuxta aliud hoc principium, nempe. Quccfunc aequalia fibi congruunt, (i apte fuperponantur, vt apertiffi- me patet in Prop. 4. Primi Elem. Et quidem quid nobis apertius indicare poteft squalitatem quam congruentia ? fi enim, vt inquit Ariffotiles, quod efl vnum tn tubHantia, illud eft aequale in quantitate, erit faiie exadliffima trutina squalitatis ipfa congruentia, cum ex duabus quantitati- bus tunc fiat quodamodo vna. Liceat autem mihi ad maiotc didorum confirmationem paululum circa huiufmodi doftrinam immorari . Sspe enim meditatus fum numpra?fata duo Axiomata fint inui- cem aliqua ratione conuertibilia,ita vt aequalitas cogrue- tiamCfi apte fiat fuperpofitio) & congruentia femperin- ferat aequalitatem. Si enim congruentia eil cxadfiflima aequalitatis trutina.profcdfo id valde conuenitns effe vi- d batur. Attamen ex alia parte negotium faciebat quod plures quantitates squales confiderat Geometra , qus ta- men hoc congruentis beneficio ncutiquam potiri valent; vt et Proclus innuit in Com. in Euclide Lib. 3. ad Prop. 4. dum examinat illud Axioma . Qusfunrsqualiafibicon- gruunr,ait enim . ffoc autem non in omnibus verum tft fed iu y/, tjua ffeciejimilia funt , Specte autem JimiUa hxc dico , vt \ reSia Itnea refla linea , circumferentia cirium feri ntis circuli eiufdem , ^anguli, ijui a f milibus /militer tacentibus lineis comprchtnjifunt . Horum autem dteoj quod qua aqualta data fuermt/ibt tnuicem congruunt . Vt ergo quid circa hoc fen- tiam palam faciam, dico fi geometricarum legum feuerira- tem attendamus, rem far.c ita fe haberc;at fi liberiori indul- tu circa hoc vehimus philofophari,nihil prstereundum effe quod hanc conuertibilitatem al quo modo coadiuuare poffit. Quapropter fi dicatur redfam periphsris circuli congruere non pofle, annuo &ipfeftri<^e loquendo, fiq. Digilized by Googie lnCuUinnm\ 217 nihil aliud fuperaddatur: verum accedat motus »& illius ope animaduertemus nos id aliqualiter obtinere poiTe. Nam G circulus reuoluatur fuper rc^am lineam 1 tuc agno, fcec incelledus Ci non permanencer,faltem fuccefliueablb- lucamfuilTe redx ad periphxriam congruentiam . Et hic eft vnus eorum modorum , quibus congruentia aliqualiter intellectui poteft reprxfentari,quem dicere polTumusj mo- tum iimplicem. • Huic fuccedit fecundus modus,quem voco indexionem, cum nempe concipimus alteram quantitatum xqualium propolitarum in partes, feu componentia diuidi, qux abfq. reparatione fingillatim moueantur,& infledantur ad con- gnientiam . Vt fi reda linea quinq. palmorum infledatur, & complectatur ambitum pentagoni xquilateri , cuius lin* gula latera fint vnius palmi . Sic vcio patet quamlibet re- dam cuilibet ex reCtis compolitx adaptari polTe, illam in tot redas diuidendo,quor erunt in hac redx linex . Verum firedacx.gr. xqualis periphxrix circuli, eidem per infle- xionem fit adaptanda, tuncintelligimus illam reCtam di- uidendam efle in tot partes , feu in tot componentia , qux omnem aflignabiiem numerum excedant; u enim illa certo quodam numero claoderent ur , cum minimX particulx il- liusredx linex congruerent periphxrix citculi,in haceflet aliquid redi, quod eflet abfurdum. Tertius, & vltimus modus cft,quem appello fluxionem, fcilicet cum nedum partes mouentur ad congruentiam , vt fitper inflexionem, redetiamloco vicifllm permutantur, nullo tamen fpatio inter ip/a componentia interiedo ( fi enim hoc fierer.eam fluxionem rarefadioni coniundam di- cere poflemus) qux partes permutandx hic pariter vel cer- to numero comprehenduntur, vclfupcrant omnem nume- rum. Exemplum primi fuppeditabit angulus cornicularisre- dilinco xqualis. Adeuius intelligcntiam fit, ABC, ira prima fcquentium figurarum angulus redus , in fecunda obtufus,& in tertia acutus . Et fuper diametris xqualtbus, BC, BA,fcmicirculidefcribantur, BGC, BFA. Tandem vero in tertia figura erigantur dux perpendiculares ,*BE, E e qui' 2I8 Exerciutio Tmu ', ^idetn ipfi, BC, & BD> ip^>> B A, qux Ht xqualis ipn,BQ uiper quam dcfcribatur quoque femicirculus, BHD . Diam ergo anguJus fcmicirculi, G6C , cft xqualis angulo £cmicitcuIi,FBA,apponco communi, AEG, in prima, & fe- cunda figura, tk eo fubrra^o in tertia, componetur in illia, &in bac relinquetur, angulus redtilineus, ABC, xqualis curuilineo, Teucorniculari, FBG \ quem ita redfilineo ada- ptabimus. Iu prima quidem, & iVeunda figura cum fic communis angulus mixrilineus , ABG, fu fficit fuperponcre angulum,FBA, ipfi,CBG, fic emm dux parces.feu duo an- guIi,FBA,ABG,coraponentcs cornicularem FBG,ad con- gruentiam aptatx erunr , & fubindd totum toti congruere dicemus. In tertia vero figura corniculatis, FBG, perre- ^m , BE, diuiditur in angulum , FBE , & EBG, angulum conta<5tus . Sed efl etiam angulus contadus, ABFl , quia, AB,eff, BD, perpendicularis . Ergo poterit, EBG,poni fii- per,ABFl,nempe confticuta,BE,in,BA,& cadente periphf- Tia,BG,rupcr,BH,illiquc congruet. Similiter cum reliquus, FIBE , fit arqualis angulo , HKBC , f funt enim fcmicirculi anguli, FBA,HBD,xquales,& re rumq. Axiomatum conuertibilitatem infpici po(re,eamq. tamquam exa^am squalitatis trutinam vbiq. recognofei. Deniq. quoad fuperpofitionem adhibitam in ipfa Prop. prima qualis fit,quomodoq.mtelle^ui conflare poflir, fatis fiiperius didum cfl in examine Sedlionis 20. & 5 1. nequo enim vt inquit ipfc,quodfuperponitur in planis funtmers lines, fcd fuperficies:neq.quod fuperponiturin folidis fune mera plana, fed corpora, quorum hic non officit impenetra* bilitas.fumus enim in materia intelligibili,in qua licet hanc penetrationem concipere, ficuti eam concepit Archimedes, & alij, qui hac fuperpofitione vfi funt ^ C A P V T xir.^ Proceditur k SeSHone 3 3 . vfq. rfisf 3 7 . incluftue . CVm in Libro Septimo mes Geometris Propofitio» nem primam fuperius examinatam aliter oflSdifTem^ hoc cfl flylo Archimedeo,vt de illius veritate quoad figu- rasplanas nullus Studiofo relinqueretur ambigendi locus, hanequoq. Audior nofter carpere voluit j quapropter vi- deat prius Lcdlorin Exerc. 2. Pag.93. .deraonflrationcm Lemmatis primi, deinde examinet quid cdtra ipsu obijeiat GuldinusinhacSec. 33. Inquit enim Pag. 347. Sedio XXXIII. Lemma noc eafdem plane patitur ehie~ Ltiones , quas ipfa pracedens Propofttto . Nthil entm demon~ ftratur de fuperfciebus',fed de lineis tantum , ^ de fuptrfcie inter binas aquales re^as intercepta^ non fcimus quales fint reliqui duo termtni, qui vna cum binis rtiiis parallelis fuperfi^ £ e 2 ciem i 20 Exercitatio Tertia . eiem UUm claudunt, femf er enim manent diuijlMts in infini- tum. Huic tamen lemmati medibttur fi f guras tUas aqualitet analogas defcriptas fuffonamus per metum paraUeU Ime* illius, qua dicitur bafis , eo fcilicet medo, que Aucter dtfcribere docet parallelegramma mixtilinea in dtmenftratione lemma- tisfecundi . Sic enim concludere peteft non de lineis tantum, fed etiam de fuptrficiebus,quas Itnca dtfcrtbit met ai cJ- fic loco funHi, R, ajfumere potefi partem linea curua, aduerfarium ad abfur dum dt ducere : terminus enim linea meta pofife relin- quit non punitum tantum,vt fit in figuris ifiis analogisfied li- neam,& ipfa linea mota ficmper efi in loce maiori fe , hoc efi in fupcrficie,&e. V«dc quaefo, benigne Lcftor, num hxcdemonftratio fit de lineis tantum,& non deAjperfickbus, vt Andor putat, cum ipfum , quod hic fupcrponitur fit fuperficics , fimilis enim efi hxc demonftracio ei > quam affert Euclides Lib. z. Elcm. ad Prop. 35. Infimul autem intelligcs quam necelTe fic has figuras deferibere per motum parallela; linca<, vt dc< monftratio concludat de fiiperficiebus , quemadmodum Audorifie vellet , perinde ac fi non fuificiac carum tradita definitio,ac fuppofitio quod fint figurae sequaliter analogf, nifiaftudefcribantur. Opponit deinde in eadem Pagina • hxc Lemmati fecundo,quod videas in eadem Excrc.a.Pag. $5. nempe in Sec. 54. fic inquiens. Scdlio XXXIV. Indemenftratiene lemmatis huius pag.iq. linea ejicitur: Cuin ergo figura comprehendens fpatium, C QP D, fuperet ab eo coniprehenfam parallclogrammis, BZ, 2 ♦, 3 a j A M, quod non videtur verum ejfe,fuperat enim triltneistantum,BCE, 2 EI, 5 IN, A N^, hoc eft,fubqcit,pa- rallelegrammo, a P :fedquaratione probetur , aut demenftre- turilla, V el par a^elogr amma , vel trtlinea aqualia effehuic parallelogrammo, A P, cumdicat, hoc cft parallelugrammo, A P , non apparet . Debet ergo demonftrari trilinea illa fimnl fumpta parallelogrammo , A P , aqualia effe,vel minora . Ipfa porro demonfiratiotota ijfdem fire dtfitcultattbus fubiacet , quibus ipfa prima Proptfitio . Cum entm figura aqualiter ana- loga definiantur tantum per lineas eorref pendentes aquales in illts pariter exifientes , nthil determinare pejfumus de binis alijs Digilized by Google InGuUtaum, 22 1 Mijs lineis, in quibus fretdi^in Une* fermhtantnr , qunque vnn eum binis farnllelis figuram illam cenfiituunf. fola enim pua* Ha intclteHui reprafentantur. Quod hgiira comprehendens fpatium, C QJ> DjAipcret ab eo comprthenfam paraIlclogrammis,B Z , 2 ♦, 3 a, a M, imeJJigendum efl quod Toperatab eo fpatio comprehen- fam , hoc tfl inferiptam, quam vtiq. fuperat didis paralle- logrammis . Quod vero parallcIogramma,BZ,2 «,3 a,a M» xquenturparalIeIogrammo,AP, tamquam demonlaatu fa- cile, Ledoris induffriarrelidum cft, cum penderet hoc ex Lemmate ant. Ex co enim patet , BZ, aquari iplr, E &, nec non, 2 &, ipfi, I Be , ac , 3 ^ , ipfi, N P , quia dida paralJo logramma bmaiunt incadcmbafi,&2quali altitudine, vnde,A P, xquatur iplis, a M, 3 a, 2 *, £Z,nmul Aimptis. Denique abfurdehic quoque obijcir, nihil determinari pofTe de binis alijs lineis, qua* cum parallelis figuram con- flituunt , vt ex^r. de lineis , AQ^DP , quar cum parallelis, AD,QP, claudunt figuram, AQPD, quia figura? a?qualitcr analogx definiantur tantum per lineas corrcfpondentcs atquales: hoc enim non tollit, quin ipfar fint figuro? , & vc tales confiderari polTinr,~\rt fie in illius lemmatis demou- flratione,in qua nihil aliud de lineis ex.gr. AQ^, DP , opus eft determinare,nifi quod fint linea?, fiue reda? , fiue curuar, qualifcumque earum curuiras exifiat. Vndd nonmera^ {>unda in lineis , AQ, DP , fed & ipfa? linea? , nulla fpeciei inea? fada determinatione ( quia hypothefis nulli cert^ al- ligatur) hic confiderata? fuerunt. Notandum ell autem in dida demonfiratione bis duci redas , aX , rV , BK , quod aliquis reprehendere pofiet . Verum fic dubitanti confide, randum propono , pra?facas lineas prius fupponi dudas vteumque , 1 edbafibus parallelogrammorum a?quidiftan- tes j pofterius vero ea lege , vt biftriam dwidant parallelo- grammotum ^regione fibi refpondenrium altitudines.Rur. fus tranfit Audor ad Lemma 3. in Scc. 3 j. haec habens Pag.34^- Sedio XyXN.Senfus huius lemmatis eft fieri pojfe , vt ta- lis duc atur linea tangens ; id ejuod & nos concedimus . Pofji- bile pr at er e a eft inuenire verticem linea curua in ftguram re- daHay 2 2 z Exercitdtlo Tertia . da[i£^ (^geometrice quidem plurium tdlium f gurarum , de quarum ortu, ac geneji confiat, non autem fer eam qua in de* monfiratione citatur Propofitionem Libri Primi, de qua nos in Prafatione Libri Secundi noerorum Centrobary eorum . Cum ergo vertex figura geometrice inuentus non fit , neque linea. tangcnsgeometrice detur, cadit id, quod huic lemmati fubne- £litur Cor ollarium. Hinc manife^umeft quomodo ducca* da fit reda linea datam curuam totam in eodem plano cum ca exiftentem contingens, quar quidem datat reda? lineae fit aequidifians . Nihtl enim manife^um efi quam pofitbilitas. Ad haec patet refponfioper lam dida Cap. 4. vbi ofien* fum cft poffibilitatem verticis inueniendi in figutis fatis cfTc. Eft autem hoc Lemma pag.98. eiufdcm Exerc. a.& ibidem pag.99.cfi Lemmma 4. cui fic contradicit ibidem in Sec.35. Sedio XXXV’’!. in demonfiratione huius Lemmatis defi deratur in primis ratio , (fi modus deferibendi lineam varii flexuofam, A N E, per motum recia, F E, qua quidem qua ra- tione (fi fihi ipfi , (fi linea, S A , femper efife pofftt parallela, ca- pit intelleUus : quomodo autem punctum , E , dejeribat illam , AN E, aut aliam diuerfimod} flexuofam lineam, nullis praferi- ptis conditionibus, intellectus non videt, maxime cum iam po- Jitafit alia curua linea , SROI F , in punito , F, linea, FE , mo- ta terminata . Dicitur quidem ad punitum. E, efife attenden- dum, vt deferibat Uneam, ENA, cum relta,AE, figuram com- prehendentem , qua propofiitafgura , SPFR ,fif aqualiter ana- loga iuxtd regulam ,F E. Sed quaro per quam viam incedere debeat punitum illud. E,vt vna cum, A E, qua hic proponitur rclta,comprehendat figuram ipfi, S P FR, aqualiter analogam? Si rcfpondeatur producendas efife lineas, H 1 , P R, vfque ad rettam , A E, vt ipfam fecent tn punitis ,D ,C, B,ex qui- bus in pr adultis abfeindantur, D L,M C,B N, ipfis,H I, P R , aqualis ; atque per hac punita ,L,M,N, tranfeundum efife punito , E , quod mouetur , qua quidem hic pro infir ultio- ne necefifaria danda omittuntur : Sed quis hutc punito , E, viam monfirabit inter, E, (fi, L, inter, L, (fi, M, inter ,M , fi N, fi inti r, N,fi ,A? Si dicatur plure s effe ducendas lineas: redibit tamen rurfus eadem quafito, femper entm manebunt Digitized by Googie In Guldinum, 225 fpatU^ftr qu* puniiamy E fme duce trdnfire debet . Nihil erg b ceucludemus etiam h»c Lemmate : Multo minus admittetur Corollarium hoc . Hinc habetur figuram, S P F K, ipfi , A N Ejorqualem e/Tc, & vniuerfalitcr figuras planas, in qmbus earum regulae aequidiftantiumquotcunque linearum con- ceptae portiones integr» funt, inter le aequales clTc. Ergo vlterius progrediendum erit , quod fi fecerimus perueniemus adippam , qua demonfiranda Archimedeo modo promififafuit , Propefitionent primam ^fupra Propofitione noftra quarta rela» tam^ quafub eodem nomtne Propofitionis Prima Septimi Libri ftc proponitur. Suppofito Ledorem hoc Lemma vbi fupra vidilTe,dico io eo, quod fpedat ad progrclTum pundi, E , vt defcnbat iineam,ELMN A, eodem prorfus modo id perficiendum e(Te,quo Audor nofter inquitjnepc a redis, H D, QCjP B, abfeindendo, D L, aequalem fibi rclpondenti, IH, &,M C , ipfijQO, vt&,NB,ipfi,PR. Hoc verj6 faris Ledor ibidem intelligere poteft, dum di- citur pundum,E,ita in ipfa, F E, incedere debere, vt deferi- bat lineam, ENA, cum, A E, comprehendentem figuram aequaliter aDalogam4pfi,S P F R, regula, F E . Quid enim aliud efi hoc, quam dicere, produda quacumque reda in, SPF R,airumpta,vfque ad, A E,ex eadem pundum, E,in tranficu abfeinderedebere arqualcm ei , quas ell illi in dire-^ dum in ipfa figura , S P F R ? Et fiquidem Problcmatice id exequendum drcr,certe omnes hnex figurae, S P F R , pro- ducendae elTent vfquead, AE, &ex fingulis ablcinden? dae aequales fibirefpondentibus: fedThcorematice fufficit ex vna intelledum percipere modum , quo in reliquis id praeftandum fit. Non enim pro demonfirationis veritate necefTcell.has figuras aequaliteranalogasadu deferibere, fedfufiicit intelledui illas fupponerc delcriptas, quia ex . eo, quod in vna reda fieri apprehendit, id in reliquis perci- pit elTc polfibile, &confcquentcr nihil abfurdi inferri, fi illa? figurae tanquam fadae fupponantur . Cum ergo,& hic Problematis polfbilitas fulficiat , nihilominus loquurus fum tanquam Problematicc id praeftarem (quocumque modo id fieri pollit)quia hoc demonftrationis veritati non derogat. 114 ExmitdttoTertU. derogac . TranGbic crgd puniium. E, inter, E, &,L, inter, L,&,M,&c. non alio ducc, quam intciledu, qui percipit ipfum debere femper abfeindere re^am xqualem Gbi ref* pondenti in figura, S P F R, etfi Problemacice id fortd non- nifi mechanice, Rame hac figurarum generalirate , &nifi ad ipfarum fpecies defcendamus,exequi fit poflibile . Ha:c igiturnihilotHciuntveritati/ubfcquencis Corollarij, quo deinde vfusfumad priorem parrem Propofidonis Primae Libri Septimi mex Geometriae dcraonftrandam. Deniq; Au<5forinfurgic contra aliam demonRrationem prioris partis ciufdem Prop. ant. ex praecedentibus Lem- matibus conftrudfam, quam videre licet in eadem Excrc. 2.Pag. loi.Sic autem decadem effatur in Sec.j7.Pag.349. Sc3f io X XXV 1 1 Ofimfa tfuidem in charta per varias figtt- ros ( quas ejui videre velit ipfstmmet confutat Auilorem )fed mn demonftrata pro communi f ait em Geometrarum intelle- €fu . Mirabiles quidem ofiendtt figuras, quas vocat aqualitet analogas , fedqua fint figura aquali ter analoga ,fiquaramus more Geometrarum definitionem , refpondetur tllas ejfe figuras aqualitet analogas , qua eas habeant proprietates, quas Prima Propofitio Libri Septimi tllts attribuit , quam retuUmsu Propo. fitione noflra quarta , Numero primo . Si quafiero quomodo Geometrice defcrtbantur , vnum affertur exemplum in paren- thefidemonfirattonis Lemmatis 2. de par allelogrammo tantum hoc modo ; quo pa^io data bafi,& curua linea tota in eodem plano cumipfa bafi,ac vni extremorum eiufdcm contermi- nante, parallelogrammumcuruilincum> abijfdem appre- henfum deferibere docemur . Sl^omodo autem reliqua , qtta nonfuntparallelogrammadefcribendafint , altum flentium. Mouetur quidem linea paralleliter alteri,& ad eius extremum vnum attenditur ,fea quid fit de altero ? quod ipfum deberet effe Via deferiptionis . Pulchra fuiffet huius operis fine Lem- ma fiue Propofitio . Data figura quacumque inter parallelas , expofita, deferibere ei figuram altam , quoad perimetrum qui- dem diuerftmede difitmilem,ftd aqualiter analogam . FruUra Audfor jiie vim iacic in hac figurarum aqualitcr .inalogarum geometrica dcfcriptione, cum in gratiam de- monltrationis tardem vt fadlas , fupponcre tantum fuffi* ciat Digitized by Google InGuldinUm, 225 . ciat, nihil enim ex hoc requiturabrurdi,autimpo(ribiIis. (^arecum ca, quae hic opponit, nonniH hifce Problemati- cis deicriptionibus innitantur, tamquam cx eiufdcm fen- tentia neceflarijs, patet incongrue ab eodem pronuntia- tum efle hanc tantum oftenfam ede in charta pervarias fi- guras,fed non dcmonftratam pro communi ialtcm Geome- trarum intelleiftu , nihil enim apparet , in quo illi haefitan- dumfic. Pofterioremaotem partem eiufdem Prop. i.non diffimili methodo confirmatam videre poteft ftudiofus in eadem Exer, 2. a pag. 120. vfq.adpag. 174- C A P V T XIIL In quo examinantur obie£ta a Sec, 38. vfq. adt^i.(jr '^'It. CVm Guldinus ea omnia, quae in vtraq. Methodo Ind. ipfi negoriu faciebant protuliirct,deniq.taIemfubiun xit conclufioncm in Sec. 38. & in eadem Pag. 349. Sedio XXXV III. Vifis ergo iftisytamin Methodo Indiui- ftbilium , quam in hoc Libro Septimo ab Indiuiftbtltbus , iuxtd Aulioris fententiam independente , occurrentibus plurimis difficultatibus , nolumus , ncgleitii proprys nojlris in Libris Centrobary eorum omilJts parergis, inquirere ‘vlteriusi maxime cum hac inquijitio faha non Jit ,protiJlor , ad confundendum , aut fupprimendum Auli orem , quem magni facimus , fed vt exiliis nouis Inu entis aliquid obtineremus , quo Ifum^ Fru- dum , Gloriam Centri grauitatis augeremus , Jluare cum nojlrum propofttum hac ratione ajfequipojf e hac vice defpera- remus ; incerta enim pro i ertis p ropont re noluimus : Idio hec labore fuperfedendum ejfe iudic animus . Beltqua huius nego- tif in aliud tempus , vti monuimus fi Deus vitam , bonam valetudinem dederit referuantes . Modtjle tamen ipfumCa~ ualerium rogatum volo , ne id vitio vertat , quod ipfe vt fii ret vitro expetierati^ reliqua,qua in fine 1‘ropojitionis 1 1 Capitis pracedentis de Keplero diximus ,tpfc etiam J/bidilta tjje pu- tet : Scopum enim veritatem , eiufq\ cognitionem manifftam pofuimus illum enim attigijfe . hoc Maihcniaticai um di- guicati, ac iunimx ccrcuu jin. , quam prae omnibus alijs hu- f f manis 225 Exercitatio Tertia . inanis fcientijs, nemine Philorophorum reclamante, ipfx /ibi vindicarunt, maximdconuenirc manifeAuin cA . ^fo illo ( in Prafatione Ltb. y.) hoc edicente. Quod Au«Aor iAcvtrainq. Methodum Ind. tamquam incertam pronuntiarit, & ideo negicxciit , iam dixi miran- dum non cAc, cum non accuratd, vt Aepe faAiis eA , nec to- tam didtam Geometriam infpexerit . Quod vero hxc mea cenfere voJuerir,iequiboniq. facio, folius enim veritatis amore hanc cum AifccpiAe prouinciam facile mihi perfua. deo. Qtiod n accurariorcm,quam promifcrat,dchis quoq. habuiAct dirquiAtioiicm , muJco gratior Iiic fuiAct : vel cn.mhxc IndiuiAbilia tamquam geometrica portenta per- petuis tenebris fuiAl-nt damnata, aut ab eodem quoq. ap- probata,e tot difficultatum latebris faelicius emcrAAcnt . Is vero in eadem Pagina diluit in fiuc quamdam obicdiio-^ nem, quam foi te aliquis ex Clamo in fauorem Indiuifibi- lium contraipfuin affcrcpoAct , qua: cA huiufmodi , vt pa- tet in Scc. 39. S edio XXXIX. tawen hoc loco , id nimirum , quod his omnibus feriptis v It imo memoria debilitata occurrit eft \ quod tam Caualerius , quam al^ fortafjts contra ea, qua adhuc difputauimus obijeere poffent , quod omnino diluasUum. ante fnem huius Capitis videtur Chrtfiophorum videlicet Cla^ uium , quem in omnibus , vbiq. quafi ex profejfo defendere conftituimus, vfumfuijfe in aliquo f altem loco hoc , quem nos reie cimus arq^umentandi modo : Ipfum nimirum ex pluribus punctis conclufijfc de tineis ; immo vfum fuijfe vocibus ifiis a, nobis reprobans, omn\3^ punda, omnes \\ncxi& hoc non tam argumentando induxijfe,quam vt principium propofuijfe, adeo clarum, vt lumine naturali cognitum fit , nemoque fana men^ tis tllud negare pojjit . InScholio enim Propojitionts 2%. Lib. Primi Elementorum , vhi axioma, 3. Euelidts , quod iudt carat tanquam principium affamen dum non e[[e, demonflrare cona- tur Geometrice ■, pojlquam Procli dcmonflrationcm( quitdem fent it }ret ulijfet . camq. non fiatis valtdam, ant omnibus nume- ris abfolutam ,q:taJireprobra(fiet , ipfeClauttcs Numero I hoc ponit principium. Linea cuius omnia punflaa rtcla linea, qua Ui lod. m cum ea pLino cxijrit, f qu alinr dtjl ant , rieta ift , Digitized by Googie In Guldifinm» 227 Circa quam dubitationem non opus erat /pfum labora- re,eam enim nunquam in fauore Indiuiiibilium attuJine m, cum loco Clauij fupracitato manifeftum fit illum loqui dc omnibus linese pundis non colIe^iue,fed diftributiue fum- ptis, perinde ac in definitione circuli dicuntur omnes lincg a centro ad peripbsriam diufia? inter fe lequales , quod ma- nifeftum eft non collediue , fcd diftributiu^ intclligendum cfte . Hoc aurem dico , fi loquamur de priori Methodo Ind.in quoipfa Indiuifibilia collediiue fumuntur. Quoad pofteriorem vero Methodum, in qua vtimur Indiuifibilibus tamquam diftributiud fumptis , haud negandum eft potius hunc Clauij loquendi modum ipfis fauere Indiuifibilibus, quam aduerfari . At Guldinus haec poftea fubiungit in Sec. 40. Pag. 3fo. SeitioXXXX. Ad quod respondendum itidico : Si hoc lo- co omnia punita fumantur fimul collelia^ vt facttCauale- rtus de futs p unitis Aut lineis .^idem de tllis dicendum effe.quod hoc capite de qfdem dicimus . Si vero intelligantur pi r omnia punita, tot , quot afftgnari poffunt , adhuc in eadem manemus fententta , dicimus nihilominus nihil prohari per i^a pun- ita de linea , quia onuuu punita . eum fint infimta , ajjtgnari ■■ nequeunt , ea autem , qua aj^gnantur finita . nullam compo- nunt lineamfed adhuc femper inter duo proxima punita du- ci potejl linea, fue relta,fiue curua, & hoc in tnfinitum . Ergo nihil confiat de linea ; atq. cx hoc capite claudicat hoc prin- cipium. Circa li£c autem n6 aliud addam, nifi, fi per tot pundla, quot afiignaripoftunt, nihil de linea, Clauius concludere . potuit: a pari nullum Geometram per ror linearum, quot intra circulum ab eodem pundo duci poftunt,xquaIitatem, deiplo circulo quidquam concludere pofie,quiaquotcuq. lineas nullam conftitucre poftunt fuperficiem , quemadmo- dum,inquit ipfc,quotcumq. punda nullam vnquamfaciut - lineam . His vero ibidem fubditpaulo poft in Sedione 41. huiufinodi verba- N ullus autem dubito Clauium hoc vidijfe y vel fi non vidit ( nam quando^, bonus dormitat Homerus) nthtlominus tamen acfifibiy & ture merito quidem non fatisfe cijfct per hecprinci- Ff 2 pium, - \ Digitized by Googlt 2lS Exercitatio TertU, pium, aliud Num. 2. fubiungit his verbis . Si re fi a linea fu- per aliam re fiam in tranfuerfum moueatur, confiituens i» fu9 extremo cum ea angulos femper reftos, defer tbet alterum illius extremum lineam quoq. reflam. Dignum nimirum Clauio principium , quodq; fine illo priori mtento fuo & Geometris ommbus fatisfacit ; potefl enim vt principium per fc folum ajfumi eo in loco, quo Clauiusfupponit 28. 1‘ropof. Primi Libri Elem. demonflratas , & fi opus ejfet ab illis , alqs Princtpijs pramiffis dependens; nulla enim alia indiget probatione: Huic enimfoli ajfentitur intelleflus Geometra illtus, qui f ait em illa de qutbus diximus principia , cr Propofitiones percepit : non priori , Itcet Clauius addat : Efi principium hoc aqui clarum , & euidens , atq . antecedens . Efi enim hoc non aqui clarum^ fed longe clarius; quia per hoc ex motu refla linea ipfafuo vno termino , altero autem ita afiixo refla alteri line* , vt neq; in motu, neq; confifiensin ea, aut ab ea dimoueri , aut ipfa linea mota inclinationem mutare pofjit, defer ibit lineam,de qua rec- te conducatur eam fore reflam . illud autem principium , fi principium dicendum,non nififola,folitariaq. ajjtgnat punfla, quaquidem omnia in eadem erunt linea refla,quf tamen prius cogitetur per duo f ait em punfla, id quod vitro admittimus^ duci a, (fi quantum opus efi advtramque partem produfla: Punfla tamen illa quotquot tandem fuerint ; repetimus idem; nullam partem linea dufla confiituunt , ac proinde nihil ex illis dc qualitate linea probare aut afumere poffumus . Ergo fine priori illo principio per poflerius , & reliquafequentia Cla- uius id quod propofuit fu fident er demonfirat . filjiod ad tuen- dam Clauif aufioritatem , (fi nofiram fententiam roborandam nunc fufiiciat . Si prius principium ( cui pofterius xque clarum dixic Clauius, licct lioc neget Guldinus>iuxta eundem repudian- dum eft,pofteriori retento: a pari definitio circuli tradita per xqualiratem linearu repudianda erit pecenta illa tan- v tum^quxalTumitreuoiutioncmreda; linea; circa manens pundtum,quod nemo non videt quam fit abfurdum. Deniq. inSec.42. & vlcima habitam cenfuram placidis hifce verbis concludit ineadem Pag. 350. Sed vt finem tandem defideratum aliquando attingamus , cum f Digitized by Googie InCulainum . 2 29 cttm bo»A pace ^ Archimedis, er Euclidis , quosjingulstri ho- nore profecuti fumus; tmina er Pappi Alexandrini , quem prt- ttriutmus, Keplcri etiam,(f Caualerij, quos vt amicos tracha^ uimus , huic libro quarto, & toti Operi de Centro Gramtatis finem imponimus . Coronida» tamen fuperimponimus,(!r Epi- logi loco dentio in medium producimus Problema quoddam Arithmeticum, quod Anno 162 i.Vienna ad excitandos noftros difcipnlos compofuimus, er per unum illorum publice demo»- ftrare curauimus, ea ratione, utfequitur. Quibus & ipfc addo mc hxc ab co, ramquam ab amico, folamq. veritatem affe^ianti di^ia exccpiiTc, vt & fupra in- nuebam. Namq. amicorum eft admonere mutuum. Ego enim in maiori lucro reponam amici libere redarguentis cenfuram , quam blandientis adulatoris alTenfum . VndS cum Plauto in Trinummo fic eum compellare polTum . Sed tu ex amicis certis mihi es c er tif simus. Si quid me fcis ftcijfe in f citi , aut improbe^ • Si id non accufas tu ipfe obiurgandus es. Ego autem quoq. non contradicendi ftuditj, aut phi- lautia deceptus, fed folius veritatis amore, qua; obiedis rcfponderi poflemihi vifa^ot, lilentio nequaquam prai- tereui^da efle duxi . C A- P V T XIV. In quo manifeflatur iujignis quadam utilitas , quaahlnS- uiftbilibus in ipfius Guldini Ctntrobarycam ,niUla refpuijfet , poterat deriuari. CVm noftri Auroris regula generalis fiepiuscomme- morata,qua: in eiufdem Centrobaryra ponitur Pag; 147. tanti effet momenti, quanti in ipla apparet , tota enim in ea fundatur, vnde nequaquam deceret illam demonftra- tiuenon probatam relinquere, mihi monendus erat idena Audor, dum viueret , quod, nifi renuiifet, infigne hoc be- neficium abipfis Indiuifibilibus obtinere poterat , falcem quoad figuras planas, earumq. Poteftatcs , Id vero, eo iam mortuo, nunc rcticerem,oifi ipfe dixiflec Pag.34j. in Scho- 230 Exercitatio Tertia . ifofe huiufmodilndiuinbilia aggre(Tum fu i(Te, vt aliquid obtineret , quo Vfus, Frudtus , & Gloria Centri grauiratis augeretur, led fruftra laborafTe . Inquit enim ibidem. cum nofirumfropojitum hac ratione ajptqui fojfe def pe- raremus &c. Vt ergo amplius eorum vtilitas appareat Stu- tfiofis, hacq. occafione eifdem indicetur qua ratione hunc ab Indiiiihbilibus frutSum ad Gloriam Centri grauiratis augendam fibi ipfe comparare potuificr, placuit m huius explicationem pr^fens Caput adiungerc. Id vero eo li- bentius feci, quod noh mei , fed alterius opera & induflria in huiufmodi Indiuilibilium cultura ftrenue laborantis, ciurdcmregulaffuppetiasafreripoiredcmonflrauir. Is au- tem fuit acri ingenio prarditus, & infignis Geometra loan- nes Antonius Roccha, qui duobus annis antequam hic appareret dida Guldini Centrobaryca prsfens Lemma^ olicndcrar , ac mihi communicarat , a quo pratfata Regula pender, nempe. Si figura plana fuper aliqua fuireSla linea figuram ipfam fecdnte librttur^ erunt momenta fegmentorum figura^ -vt funt foiida rotunda ab iffis fegmentis , circa fecantem Uneam reuo- lutis , dcfcnpta. Huius rationem vnufquifq. videre poteft in Operibus Geometricis Torricellij Problemate i. de Dimenfione Pa- rabola,Pag. 77. Vt vero totam hanc rem percipere quoq. podint, qui carent didis Operibus, ponitur hic fequens de- monftratio, ex qua didi Lemmatis veritas manifeftatur, procedens iuxta mentem eiufdem Rocchar. Supponatur reda, A B, tanquam axis , circa quem rciioluatur quarcumque plana figura, C G E, adiacens ipfi , C E , fux altitudini, vt fiat fulidum rotundum . Sit autem eiufdem figura? , C G E , centfum grauita- tis , K , in dida rotatione deferibens periphipriam, KM, quam Guldinus appellauit viam rotationis centri gra- uitatis, K, vt & , K D , radium rotationis. Rurfus la- teri , C E , in plano figurx , C G E, fit applicatum quodcumqueparallelogrammum redangulum , H C E F, cuius centrum grauitatis fit, 4 , &reda, ID, fitperpen- d eu laris ipfi , A B , nempe fit radius eiufdem rotatio- nis Digitized by Googie /o Gnldmum . 231 H nis. Infupcr extendatur quarcunqueredla linea, RS,ipfi, F E, parallela, ita vt eius portio, R X , fit in parallelo- grammo,H E,&,X S, in figura, C G E, qux bifa- riam fecenror in pundis , T , V . Momentum ergo ipfius, R X , ad momentum, X S, fi vtrjquc circa, X, librari intelligantur, cft iaratione-^ompofita ex ratione, R X, ad,X S, & ex ratione diftantiarum centroru mgrau ita- tis, T,V>earundem linearum, R X, X S,a punefto , X hoceftex rationeipfius,T X,ad,X V,veI,R X,ad,X S : Facile enim hoc de quibufeunque magnitudinibus ciufdcm generis probari poteft, ex eo quod molium aqua- lium momenta funt vt difiantix d pundto librationis; & ab eodem xque diftantium molium momenta funt vt ipff mo- Ics. Dux autem rationes, R X , ad, X S, componunt ra- tionem quadrati , R X, ad quadratum, X S : ergo mo- mentum redtx , R X » ad momentum redx , X S , cft vt quadratum, R X , ad quadratum , X S,hoc eftvt circu- lus defcriptusradio,R X , ad circulum deferiptum radio, X S. Hoc idem vero dc exteris vtficafTumptisipfijF E, parallelis in didtis figuris eodem modo probabitur, funtque omnia antecedentia xqualia . Ergo momenta omnium li- nearum , H E , ad momenta omnium linearum figurx , C G E, parallelarum ipfi, F E, hoc cft momentum rc(ft;trj- guli, 232 Exerciutio T ertU , gulijH E, ad momentum figurjBjC G E , ( ij&circa , A B*,axim libratis) erit vt omnes circuli, H E, nempe de- Icripti tamquam a radijs ab omnibus lineis ip/Ius , H E , ad omnes circulos figura?, C G E, nempe deferiptos tan- quam a radijs ab omnibus lineis ipCus , C G E , vt clici* tur ex Prop. 26. Libri Secundi Geo. Ind. ciufque Corolla- rio 3. qua? Propofitio habetur in Exerc. i. Pag. j8» hoc cft erunt vt rotundum cx, H E, ad rotundum ex ,C G E, deferiptura , cx Propo 3. ciufdem Lib. Secundi. COROLLARIVM. Ex prAofienJis fatet vtritas prxdi^i Lemmatis cella- tione fegmentorum librata figura eum parallelegrammo , vt , H Ei ia eadem cum figura altitudine confiituto , ac cum iffdem pariter librato . His demonfiratis remanet oftendendum quomodo cx his inferatur regula Guldini quoad figuras planas, caremqucPotefiates, quofinuncpatefict. Namque figu- raiiim,H E,C G H, momenta, iuxta fupenusdiiSla^, funtinratione compofita ex ratione ipfarum figurarum , H E, C G E, & radiorum , I D,D K,(namhifunt diRantia? centrorum grauitatis , I , K , ab axe , A B , ) hoc eft peripha?riarum , feu viarum notationis , I L, M K . Ergo diifa rotunda erunt in ratione compofita cx ijfdem rationi- bus. Sed ca:dcm rationes componunt quoque rationem corporum columnarium, hoc cft (iuxta appellationem vfitatain in mea Geometiia ) cylindricorum , qui in bafi- bus duftis figuris ,P E ) C G E , altitudinibus vero ijfcictn peripharrijs , I L , M K , in redum extenfis intcliigi poftiinr, vtd meoftenditur/n Prop. ii. & 14. Libri Secundi dida: Geo. Ind. cxpiicaturq. in eadem Exerc. i.num. 22. Ergo rotunda ex, H E, C, G E, deferipta, erunt vt didi cylin- drici. Rmundum autem ipfius, H E , cquatur cylindrico inbafijH E . altitudine pcripha’ria, I L , quod lic probe. J.'iud rotundum idem cft cum cylindrico inbafi circulo ra- dij, Digilized by Google tnCuldinumV- dij,F E ,& altitudine , C E . Hic veno cylindricus aqua- tur cylindrico in baii , H E, &altitudine via rotationis, I L.cumvtriquc bafcs habeant altitudinibus reciprocas. Etenim circulus radij >F E, habetur ex duduipfiuSjF fi, infcmiperrphxriam ab, F E, deferiptam, hoc eftin viam rotationis, ! I D, dimidia ipHus, F E,& fubinde etiam periphatria , I L , eft dimidia periphxriae radij,F E. Parallelogrammum quoque, H E, fit ex du- £hiciufdem,F E, in, E C, vndevtcircuhisradlj.FE, ad parallelogrammum , H £ , ira reciproce eft via rotationis, I L,ad,E C. Cumcrgocylindricusinban,H E, alti» tudine via rotationis,! L,xquetur rotundo ipftus,H E; etiam cylindricus in bafi Hgura , C G E , altitudine via rotationis , M K , xquabitur rotundo ab eadem , C G E, deferipro, funtenim hxc quatuor folida proportionalia, vt probatum eft. Ergo fi vra rotationis, M K,docaturiti ipfam figuram, C G E,fiet rotundum ipfius,C G E. Hoc autem eft conforme regulx Guldini,qux eft huiufmo» di, nempe; SlitAntitas rttMtdain vum ntationis iu(ht produta Pt- t eft 4t em rat nudam vnogr%dH ahiorem Fetcftate ,ftne quaa* titate rMta,vfait Pag, Hoccft figuta plana producic folidum rotundum. v. Gg CO- Ef(ircit4$io Tertia . COROLLARIVM I. • I EX hdc demoajirationt innat ej'cit ,fiprofofitd figtffa plana non adiacfttet'fui altitudini’., 'qualis 'e'{fi 'fifpponatur ^ C C E N C'\cwu^ altitudojip. C E ,affumptain\,A Bycuiq; adiaceat reUan^uiim ^ H E, i. quod tunc per fupplemtntum fa£tum kfigura yC G. E iad^ente i0'iC E , cot^leta figu- ra, C N E^ipfi,^ E par iter adiUcente, eodem modo, que demenfiratur mementajigurarum ,H E\C -6-E., ejje vt r0‘ t unda ab ipfis effici a ,ffe quoque offi ndi poffe mot^ent a figura- rum, H E,C N E, cffe vt earum rotunda . Vnde patebit^ dempto momento figura ,C G E, ex momento figura,C N & rotundo ipfius , C G E, ex rotundo, C N E, momenta figurarum , H E , C N E G C , effe vt rotunda ex , H E.^ C N E 'g C,difcripta. Hacergoeruntinrationecdinpofi- ta ex ratione figurarum , H E,C N E G C & dift antia- rum centrorum grauitatis qb axe , A B , librationis , hoc tfi viarum rotationis , filuapropter vt in fuperiori demonfiratio- ne concludetur viam rotationis centri grauitatis figura . C N E G C , in eandem figuram duffam producere rotundum ab ea in rotatione circa, A B ,.dcfcr 'tptum , quomodocunque lo- cetur ad alteram axis partem propojit a figura . Ex quibus ma- ni f e fi um euadtt regulam Guldint quoad figuras planas , earum» , que f olida rotunda vniuerfaliter veram ejfe. C O R,G L L A R I V M.rJI.i INfiuper ex eadem demonfiratione liquido, apparet , fi pro quadratis ,feu circulis ab , B X , X S (fic_ tamquam a radqs dficriptis , fubfiituerimus alias quafcumque planas, ac fimiles figuras ,v ni cuidam parallelas (fi abqfdem , R<,Xx X S (fi c. tamquam ab homol^s di fer i pt as , eodem modo , qui fupra adhibitus eft, nos concludere poffe non tantum de- foltetis rotundis ,fed vniuerfaltfsime de quibufeunquefiolidis fimila- ribus genitis ex ij fidem figuris , HuE,C G 'E, ut e^lar.atur in 'spfia Exerc. i . num. \j. ea effe in ratione compofinfiex ratio- ne genitrictum figurarum , ^ ex ratione radtorum, nempe rec-. . ^ tarum Digitized by Google "tn GitUinum , 2^5 tMHm inter dxem librdt tonis, dr centrngrdtiitdtis enr undem interceptarum. Ex quo denique patebit etiam per hanc uiam centri grauitatis, ope I ndiuifibiltum , ad inpnitasfpeciesfoli- dorum ( fiue sint re£la , siue etiam f catena , nempe etiamsi , B, non fupponeretur perpendicularis ipfts ,R X ,X S ,fen planis figurarum ab , eifdem y R X ,X S drc. tamquam ab homologis defcriptarum ) proceffum jieri poffe , non ftcus ac in methodo Ind. demonjlrattones circa fblidarotundaaitinjini- tas f pedes iugiter ampliari dicebatur in eadem Exerc. prima num. 38. ' Scio autem przfara omnia ad ftylum Archimcdcum re- duci po(Te( Quodfaltcm indicatum Guldino abipHs fnefi- uinbdibus , n illa rerpuiiTcc , fatis poterat deferuire nempe conuerfa demodrationc per Indiuiiibilia in Archimedeam • vtfuntquicunquc per Ind. methodum oftenduntur: Li- cet illcvbique alfedans demondrationis oftenliuar nobi- litatem, quam fota Indiuilibilia poterant illi fuppeditare, abijfdcm rejederenon dtbuiflTet. Fruftra enim tunc Eu- clidis, & Archimedis Propofitiones perabfurdum often- fas vtprxfata oftenfiux dcmonftrationis nobilitate poti- rentur Libro Quar*« »«fti»urafr«t, nifi& didla regula ge- neralisoHenliue probata fu i itet, fecusenim omnes ab ea pullulantes demonftrationes vitio radicislaboraflcnt. Hanc quidem regulam pluribus rationibus, ijs tamen non nili probabilibus, qux in concordantia cum aliorum inuentis plerumque fundantur , confirmare conatus eff;h;c vero vbi deficit, remanet manca, & ioperf ifla demon- flracio, cumad omnia nequeat fe extudere. Obiter autem innuo, dum hoc nititur probare de folidis rotundis Pag. lyj. cum fic procedere. Probat enim conum partialem deferiptum a triangulo, A B F, ad totum conum deferi- ptum, ab, A £ C, efTevti. ad 4. quili illius radiusad huius radium rotationis eftvt 1. ad4.hoceff , inquit, per Cor.i.Prop, 3. Cap. 8. Libri Secundi Verum hoc Cor. pendet ex regula generali Pag. 147. quam hic per hoc me- dium intendit probare. Dcniq; prxfatx rationes non maiorem videntur habere probabilitatem, quam iUx, quas affert Libro Primo eiul- Gg a dem 2S$ Exerdtath TmU dem Ccntrobaryca? Pag. 127. vt confidcranti innotefcet, vbi a(Tcric , data Sphxrx , Sphjeroidis , aut Conoidis por« tionc» n per axem > & centrum bafis ducatur planum, con- ceptae figurae centrumgrauitatis effe quoque centrum gra- uitatis fliperficierum dirorum corporum > exceptis baU- bus. Ait enim hoc nmilicudioem probare, quam, habent haec fblidacum Cono> eiufque frufla, in quibus eadem funt cetura figurarum per axen\^ & conicae fiiperficici fine bafe } vel bafibus i hocque fiibdit per inferiptionem , et cir* cuml^riptiooem ruperheicrum conicarum, &c. probari pofie. Quodanverumficrubrequens demonfiratio fatis> puto, indicabit . Efio enim triangulus fquicruris, B A F^in bafe , B F , quam fecec bifariam >A M , quae ex- tendatur vtcumque in, D > fit autem circa , M D , quoque tamquam axim trapezium aequi- crure,B C E F,itaut, AB , non fit in dirceSunv ipfi, BC , nec , A F , ipfi , F E . Oportebit ergo iuxta GuI» dinura centrum grauitatis figurae, A B C £ F , per.axena ^ AD, tranTeuntis , quod fit , H , effe etiam centrum graui- tatis compofiti ex fuperficie conica , B A F > & frufti co^ ci, BCEF, ficurritdii^a firailitudo, quod videamus an verum fit. Supponamus centrum grauitatis trianguli, B AF,efTc, G,&trapezij,BCEF,cfle,I, quae erunt quo- que centra grauitatis fuperficicrum , nempe» G, conicae, B A F , & , ! , frufii, BC E F , fuperficiei per ibidem oflen- faa Gnldino. Erit ergovt, IH , ad, H G, ita triangu- lum, B A F,adtrapeziuni, BCEF, &ita fijperficies, B A F , ad liipcrficiem , B C E F , quod ferua . Infuper trian- gulus,; AB F, ad trapezium, BCEF, cfl.vt redangu- lum Aib , A JVl , M B , ad rcdangulum fiib , M D:, & aggre- gato ex , B M, C D> rquia his redangulisfiugillatim aequantur didus triangulus» ^trapezium) hoceflin la- ' tionc Digitized by Coogie ! In Gttldinum, lyj tione compofita cx ca,quam habetj A M] ad,M D>& ex ea> quam habet, B M, ad, B M, cum, C D, quod pariter ferua. Superficies fimiliter , B A F, iquatur circulo, cuius radius medius cft proportionalis inter, A B,& BM,cx Archimede Libro primode Sphzia , & cylindro , Prop. 14. & Tuperfi- ciesfrufii conici, BCEF, atquatur circulo, cuius radius medius eft proportionalisinter, BC,& aggregatum ex, B M,C D,ex ciufdem Libri Prop.i6. Erit ergo fuperficies, A B F, ad fuperfieiem frufti, B C E F, ( fubintellige femper fine bafibus) vt ille circulus ad hunc circulum , vel vt qua* dratum illius radij ad quadratum radi) ilHus, vel vt redtan- gulum fub, A B, B M, ad re^angulum luh , B C, & aggre- gato cx, BM,C D, hoc eft in ratione com polita ex ratione, AB,ad,BC,&exratione, BM, ad aggregatum ex, B M, C D.Si ergo triangulus, A BF, ad trapezium, BCE F, eft vt fuperficies , A B F , ad fuperfieiem ftulli , B C £ F ,cum oftenfum fit triangulum , B A F , ad trapezium , B C £ F , habere rationem 'compolitam ex ratione, A M, ad, MD, & exratione , B M, ad aggregatum cx , 6 M, C D, oportebit ration£, A M, ad, M D, &, B M, ad, B M, cum, C D, coin- pohere eatndmmioaemvqisaiQ componunt rationes, A B» ad, B C, & B M, ad, B M, cum, C D. Ergo ablata commU: ni ratione ipfius, B M, ad, B M, cum,C D, erit vt, A M, ad, M D, ita, A B, ad, B C, quod ^ abfurdum. Si enim iunxe- rimus, A C, quf fecet, B M, produdtam, fi opus fit , in, K , cum vt , A M, ad, M D, ita fit, A K, ad, K C, erit, A £, ad , B C, vt, A K, ad K C, vnde per Prop.3. Sexti Eiem. angu- lus, C B K, qui eft obtufus erit xqualis angulo, A B K, qui eft acutus, quod clfe nonpoteft-. Non ergo, H,cemrutn grauitatis figurar,A BCEF, erit ccntrum,grauitati$ fuper- ficiei, CBAFE, vt putat Gu Idmus . Ex quo paret hoc falsu quod; eflein infcripiibilibus,& circumferiptibilibus fuper- ficici fph^ricae.fphf rod» , & conoidis parabolici , vnde per has neutiouam intentum Guldinus obtinere poruiftet . Si ergo hoc ipfeanimaduertilTer, infimul quo^; agnouif. fet,quam parum ingeometricis probabilibus rationibus,fi- militodinibus,& an3logijs,quas tSc ipfcKcpIerp exprobra- uerat, fidendum fit . Vnde rationibus demooftratiuis fuum fiin- 238 Exercitatio Tertia . fundamentum probare non negicxiffet , nec fortd adeo ab I ndiuifibilibus abhorruiffet, a quibus tantum beneficium vbi^i retenta qua? adeo illi probabatur dcmonftracione ofieniiua obtinere poterat, nifi Archimedeam methodum , quamobdemonArationemad impoilibile ducentem auer- fabatur, profequi maluifier, qua per infcriptionem , & cir- cumfcriptioncm &c. puto, & i eliqua parsregula? de lineis, earum<^,Poteftatibus,vniucrfaJiter poterat demonfitari. Verum bxc cum omni Guldini honore, ac reuerentia diiAa ciTe volo , quem ob aureum hoc inuentum , pludmi facio , atternaq; fama dignum & ipfccenfeo. C A P V T XV. In quo foMtur qutdum difficultus^ qtucomtrn InJiuiJibilia ■ fieri poterat, licet eam Guliinus non animaducrterit , cum alia quadam ab Anonymo obieffa . INterea,quf contra Indiuifibiliaab Audfore noftro al- lata fuere, nihil eA fortd , quod tantam habeat appa- rentia , & ex Geometriae proprijs magis procedat , quam haec, qu* nunc producetur , licet eam ipfc non viderit , eA autem huiufmodi . Sint duo triangula, H D G, H D A , in eadem altitudi- ne,H D, fed in bafibus,GD,maiori,&, DA, minori. Ipfi vcr6,H D, ducantur quotcumi^i aequidiAantes, B K, CI, & per K, I, punda aliae ipfi, A C, parallcllae extendantur, Digitizeo oy Coogie In Cnldmum . 2$ 9 K M, I L; Sc per, M, L, pariter ipfi, H D^aquidiflantcs , M F, L E. Qiiooiam ergo , K F , I E , funt parallelogramtoa , erunr, K B, M F, inter fe xquales, vt &, I C, L E. Hoc ve- ro eodem modo de quibufcumq;alijs ortendecur. Ergo otn. nes ,bnex trianguli , H D A , aquabuntur omnibus lineis trianguli, H D G, regula communi , H D, Vndeper Prop. ,3. Libri Secundi Geo. Ind. quae ponitur in Exerc. prima Pag.aj. triangulus, H D A, erit ^qtiaiis triangulo, H DO» qudd ell abfurdum.Cum enim,G D,fit maior, D A, cx hy- potheE, etiam triangulus, H D G, maior eA triangulo, H D A, per Prop. prima Sexti Elem. Falfa eft ergo dida Pro- poEtio Geo* Ind. fupracitata. ergo corruunt omnia,qu£ in illa fuqdantur , hoc efl^ota huiu^odi Geometria . j Ad huint'ergp EThmonem difficultatis recolat fiudiofus ea, quae dieerc. prima, num.13. 14. 1;. ex eis enim intelligct me femperomnes lineas planarum EgurarQ vfurparc fub eodem tranEtu , nempe vel femperredio , vcl femper obliquo, qui tranfitus explicatur in didio Numero 13. OftenEim eft autem num. 15. ex hoc fequi, E non Eanr, vel fupponantur fub eod£ tranEtu, non efte inuicem ^qua- liter diftantes quaftum^ thiasynius tranEtus,. cum ali js duabus illis rcfpondentibus,quae Euir alterius tranfitus : &• . quae funt eiufdem tranfitus femper xqiialem difiantiam ind ter fe continere, quae fibic regione refpondcnr. Cum ergo duae, K B, I C, non aequaliter diftent inter fe ac dux, M F , • LE, praedidlisrcfpondentes ideo erunt omnes lioex trian- gulorum , H D A, H D G, hac ratione affumptx , perinde ac E fierent fub diuerfistraoEtibus, quapropter excludun- tur a definitione , quam tradidi omniu lioearum planarum figurarum. Perperam ergo fumptis omnibus lineis triangu-^ Iorum H D A, H D G, mirum non eft ea xqualia concludi, cum tamen Ent inxqualia . Hanc autem folutionemappri.>' declarat tela Elis contexta, e qua decerpta fupponan- tur dida triangula . Si enim ponanuis in H A D, elTc 1 00. fila ipfi, HF>i,paraIleia: erunt Egnara in, H A, loo. pumfta,^ in triangulo, H AG,:alia 100. ElaipE, AG,xquidiftanti3v &Eibindein,HG,alia 1 00. punda,& in triangulo, H D' G , pariter 100. fila. At E, D G , fupponacur ex. gr. dupla ipfius Digitizfid hy 14^ ExercitdtkTmU, ipfius , D A» enint iii triangulo , H D G,' cu m fingatur cerptus ex eadem tdajfila aoo.Ei^o ioo.reliquuntur:qua« proptahxcrariora erunt quamfilatrtanguli , H D A. Ita ergo res fuo modo fuccedit in omnibus lineis di&oru trian. gulorum vtfic acceptis, non enim ^qua ratione fibirerpon* dent , quemadrnodumfit dum omnes lincf fumuntur tam- quam Ibb eodem tranfitu effera* : - ' ■ . Supradidam difficultatem mibimet obiecf, aliam vcrd fecit quidam Anonyraus ex Gallia, qu«, vt ex quodam ^mico intellexi, talis fuit. Demonftratum ell Coroll. 2. Prop. 19. Libri Secundi Geo. Ind. quod omnes maiores ahfciflffint ad omnes abr fciffas in ratione dupla. Prop. 24. ‘ eiufd5 oftenfum efi quadrata om- nia maiorum abfcifTarum eflead omnia quadrata abrciffarum in ra- tione tripla; Prop. prima Libri Quarti , (cuius Schema hic appo- no) , G H, fiuc, C E, quadratum F G - ad,IM,aut,CN,quadratu efi vt,GC, ad, ICs ideoq,- omnia quadrata parallelogrammr, C H, fiucomnia quadrata ma- iorum ablciflarum , C £, ad omnia quadrata dimidtx para- ^olae,CG H, fiuc ad omnia quadrata abfcifTarum , C E , erunt vt reliquf maiores abfciflz , G C, ad reliquas abfeif- las eiurdem,G C. Sed quadrato^m tripla eft ratio, linea- rum dupla ex demonfiratis: itaq; ratio tripla xqualis eU rationi duplar , quodefiabfurdum . Ad quam difficultatem refpondeo no bcnfi aedpi maio- resabrctfras,&abfciflasipfius ,CE. Non enim paralle- logrammum, C H, exhibet maiores abfciffas,C E, & femi- parabola , C G H, ciufdcm abfcifTas , vt putat Anonymus; fedabfcrfix exhibentura triangulo ipfi, CE,adiacenre, V t ab ipfo ,CEH,(fi,HH, fiipponatur a?qualis ipfi , E C , ) & maiores abfcifTa: tunc etiam a paralldogrammo, C H', exponentur, iuxta difla in prariaro Cor. Propofitionis *9. Libri Secundi , quod habetur in Exerc. prima Pag. 5 6. Circa quod Cor. vide ibidem dida num. 25.Cum ergoab- TaTsas hic re^e non accepcrit,^idc6 potuit abfurduin ex his colli- Digitized by Coogle InGuldtnum, 241 colligere, quod nempe rai;io tripla efset squalis rationi dupls . Verum , vt admonui in dido nu.25.pofsumus line iflis abrddis Propolitiones demonftrare, li ilis aliqualiter Ledori negotium faciant. Sed iam tempus eil vt huicdiisertationi fine imponam , in qua non alium feopum habui , quam vt ipfa veritas clu- cefeeret, Indiuifibiliumq; vfum tibiamplius,benigneLc- dor , aperirem , quo de his squius dijudicare pofses . Iam tibi notum eft quibus rationibus priorem Methodum Ind. probauerim, & ab oppofitionibus vindicari pofsccxiftima- ucrim:quod fi non fufficiat, habes pofteriorem methodum, liberam a conceptu infinitorum Indiuifibilium collcdiuc fumptorum. At fihsc tibiadhuc non fatisfaciant, recole 3us iuxta Archimedis fiylum in confirmationem vfus In- iuifibilium allata funr,prscipue in Exerc. 2. His enim tc omni circa eadem ambiguitate expoliari pofsercor. Hsc ad inucniendum plurimum valere vel ipfc Guldinus falsus eft Lib.4.Pag. 33 1. tu autem quoq; perpende num & ad de- monftrandum recipi pofsint > nempe vel fub ea forma , qua amc vfurpata fuerunt, vd fiJtcm telatiue ad methodum Archimedeam , iuxta quam confirmata funt j ac deniq; eis vtere prout tibi libuerit,in his enim iurgijs, & dilpntationi- bus potius philofophicis, quamgeometriqjs mihi fere lem- persgrotanti, nequaquam quod luperefi tempus inaniter terendum elsc ccnfeo. ludices erunt totprsftantcsGco- metrf, quotfeimus hac noftraftateflorcrc,quoru gratiam meis hifce Indiuifibilibus conciliare pluribusdidis frufta tentauero, nili ab eifdem accurate examinata , eorum fuf- fragijsapprobcntur. Hh EXER. Digitized by Googie EXERCITATIO Q. V A R T A In qua, ad Indiuifibilium vtilitaicni,& ener- giam ampliusdec1araodaro,vrus eorun- dem in Potcftatibus Cofficis » fcu Algebraicis explicatur. Nterea, qu^ Ju^ttlijffimusKepUrus Ges- metris mue/Hganda propofmt , fAmofk txttLt duorum tnfigntum fsUdorum me- fuT4y quK eodem m Sureometria Do horumfub nomine fufi poruboUcty ^ hjperbolttt(quiA ille gignitur ex para- hoUi btc 'vero ex bjperboUyombobus htj e figuris arca pro- frias bafes reuoluus) promulgata fuere . Hutuf modi ergo folidorummenjurx fpeculandee dum aliquando ipfe ea- cumberem ,/a^um e fi 'vt mentis ligone geometria campi terram effodttns» tu thejaurum prater omnem expefiatto- neminaderimymatort apud me 10 pretio babttum,cpuamprp dirorum foUdorum anxie quaefita^ ^ pofimodum obtenta nen/ura^ wtmfequentibusapparebtty fi tamen pro byper- boltco xpRus byperboU quadraturam fuppojueris* Cum eotm preeapue /ufum paraboltcum animo ttrcumuoluerem , anmaduertt tUsus menjurambaben pojfe» (i ia propofito Hh 1 quo- Digitized by Google Dt yfu in PoteftAiil/, Cojftcis. 245 hactranjir< P.Niceronium i PerJpeSitut Curiojk elegamt Opere conticuum , quem cum de his certiorem fecijfem, pia- eutt lUt^ dt£iaprogreJftontSy^ fu(i paracolici rationem 'Td risijs proponere tauefligandam prfftantt Geometra h2- ni de Beaugrand ^ quem prtus^ tpfe de facie noueram. Cumque ego ad alta sluJta n>i coaSlus mn amplius de bis togitaremien repente Itterts eruditifjimt P. Merfennij ad' moneor diSum Beaugrand e mita teffjft, aheoqueetuj^ dem 'Beaugrdd per Niceronium illi propof torum peragam demo nflr at tonem inftmul recipio . ^Dolut "vehementer tan- ti ingenq 'Vtrum f quanti futjfe declarant ha ad me mtjfa demonffrationes, perifffe . J^i cum circa hae laborandi oc- caponem prariputfSet» multo mtnus de bis amplius cogitaui^ Denique multo ttanfado tempore iterum adhac animum in tendens hacocca/tone animaduertt doSrinam Lib.Sec,mea Oeom. Ind. qua tantum circa lineas , quadrata njerja- tmr , adomnes potefiates Coneas planarum figurarum exm, tendi pofie . Operi ergo manum admouens » fequentes Pro- pofi mehoriy qua mihi licuit, fludui ratione concinnare» j^tbus (g*r tppus Beaugrand muenta^nepertrent^ac ne tuo dignis ingemo, benigne Lebior, te fraudarem^ fideliter infe- renda curam . Hae ergo omnia tn tui commodum elabora^ ta libenti animo excipe fi qua offendens^ haud ita, nst ryeUesy affabre difpofita, aqm boniqt confule, (^e» Vide . PRO-