ADDITAMENTUM II, De motu projectorum in medio non refijlente , per Methodum maximorum ac minimorum- determinandoo i. Uoniam omnes natura dfe&us fequuntur quandamma- V/ ximi minimive legem ; dubium efl nullum , quin in lineis curvis , quas corpora proje&a , fi a viribus quibuscunquc follicitentur , deferibunt, quaepiam maximi minimive proprietas locum habeat. Quacnam autem fit ifta proprietas, ex princi¬ piis metaphyficis a priori definire non tam facile videtur : cum autem has ipfa curvas , ope Methodi dire&ae , determinare li¬ ceat ; hinc , debita adhibita attentione , id ipfum , quod in iftis curvis eft maximum vel minimum , concludi poterit- Speftari autem potiflimum debet efferus a viribus follicitantibus oriun¬ dus; qui cum in motu corporis genko confiftat, veritati con- fentaneum videtur hunc ipfum motum , feu potius aggrega¬ tum omnium motuum qui in corpore proje&o infimt, mini¬ mum efie debere. Qua? conclufio etfi non fatis confirmata vi¬ deatur, tamen , fi eam cum veritate Jam a priori nota eonfenti- re oftendero , tantum confequetur pondus , ut omnia dubia quat circa eam fuboriri queant penitus evanefeant. Quin- etiam cum ejus veritas fuerit evi&a, facilius erit in intimas Natura leges, atque caufas finales inquirere , hocque affertum firmiflimis ra¬ tionibus corroborare. 2. Sit mada corporis projeci = ejufque, diim fpatio- lutn = d s emetitur , celeritas debita altitudini erit quan¬ titas motus corporis in hoc loco = M \/ v; qux per ipfum' fpatiolum ds multiplicata , dabit Mds \/ v motum corporis colle&iyum per Ipatlolum ds. Jam dico lineam a corpore def- criptam; 3 1 2 DE MOTU PROJECTORUM. criptam ita fore comparatam*, ut , inter omnes alias lineas iifJetii terminis contentas, fit fMds \fv y feu, ob M conftan s3/ds Jv minimum. Quod fi aurem curva quxflta tanquam effec data fpedetur, ex viribus foflicitantibus celeritas sj *u per quantitates ad curvam pertinentes definiri, ideoque ipfa curva per Metho¬ dum maximorum ac minimorum determinari poteft. Ceterum ha?c exprcflio ex quantitate motus petita a?que ad vires vivas traduci poterit ; pouto enim tempufculo, quo elementum ds percurritur , = dt ; quia eft ds = dt \Jv , fiet fds\J v == fvdt ; ita ut, in curva a corpore projedo deferipta, fumma omnium vi¬ rium vivarum, qua? fingulis temporis momentis corporis infunt V iit minima. Quamobrem neque ii qui vires per ipfas celeri¬ tates, neque illi qui per celeritatum quadrata adfimari opor¬ tere flatuunt, hic quicquam quo offendantur reperient. 3. Primum igitur, fi corpus a nullis prorfus viribus follicita- ri ponamus , ejus quoque celeritas , ad quam hic folum attendo ( diredionem enim ipfa Methodus maximorum & minimorum ..compleretur ) , nullam patietur alterationem ; eritque ideo v quantitas conflans , puta = :b. Hinc corpus a nullis viribus Pollicitatum, fi utcunque projiciatur, ejufmodi deferibet lineam, in qua fit fds b vd fds—s minimum. Via ergo ha?c, in¬ ter omnes iifdem terminis contentas , ipfa erit minima; atque adeo reda : prorfus uti prima Mechanica? principia poftulanf. Hunc quidem cafum non adeo hic affero, quo principium meum confirmari putem; quamcunquc enim, loco celeritatis v' aliam ainnnfiffem fundionem ipfius v> eadem prodiiflet via reda; ve¬ rum a caflbus fimpliciflimis incipiendo facilius ipfa confenfus ra¬ tio intelligi poterit. 4. Progredior ergo ad cafum gravitatis uniformis , feu quo corpus projedum ubique, fecundum dirediones ad horizontem normales, deorfum follicitetur a vi conflante acceleratrice £}g. Sii AM curva, quam corpus in hac hypothefi defer ibit, fuma¬ tur reda verticalis A P pro axe , ac ponatur abfeiffa A P = .v, applicata P-M==^, & elementum curva? Mtn = ds; er’t ergo, ex natura fo limitationis, dv z=^gdxt & v^—d -i-gx* Hinc curva & £ M O T U T R O J E C T O R V M. 315 ctirva ita- erk comparata, ut in ea fit fds \J ( a 4 -gx) minimum» Ponatur dy = —pdx , ut Ut ds = dx V (1 4-//0> atque mi¬ nimum eife debet fdx*/ {a 4-^tf ) (1 qua; expreilio cum forma generali fZ d x comparata dat Z—'(.,—c+>x; ' qu« integrata dat ^ = — V C {a — C-tgx ), j. Manifeftum quidem eft hanc aequationem effe pro Parabo¬ la. At ejus confenfum cum veritate attentius confideraffe juva¬ bit. Primum ergo patet tangentem hujus curvae effe horizon¬ talem, feu dx = o i ubi eft.^ — C -{~gx = o. Cum igitur principium abfciffarum A ab arbitrio noftro pendcat, fumatur id in hoc ipfo loco , fietque C— a ; tum vero ipfe axis per hoc pun&um curvae fummum tranfeat, ita ut, pofito at = o, fiat fimul y = o. His confideratis , «quatio pro curva erit hsec y—z\/-~ ,* quam non folura patet effe pro Parabola; fed etiam, cum celeritas in pun&o A fit V a , altitudo CA, ex qua corpus labendo ab eadem vi g follickatum eam ipfam ac¬ quirit celeritatem, qua in pundo A movetur, erit == — ; hoc • 4 r< • ^ eft, quartae parametri parti aequatur ; prorfus uti ex doctrina mo¬ tus projedorum per Methodum diredam intelligitur. 6. Sollicitetur , ut ante , corpus ubique vcrticaliter deorfum, at ipfa vis follicitans non fit conflans , fed pendeat utcunque ab altitudine C P, Scilicet pofita abfeiffa C P = x , fit vis qua corpus in M deorfum nititur — X fundioni cuieunque ipfius x. Si ergo vocetur applicata PM~ elementum arcus Euleri de Mas, & Mw< R r M os / Jfzg. 27. 314 Z) E MOTU PROJECTORUM. Mm = ^j 3cdy=pdx; cvltdv^=Xdx7 & v~A -\-fXdxi unde minimum effe debet haec expreilio fdxs/QA^t- fXdx) (i •+*/£)» ex qua pro curva defcripta AM obtinebitur hasc asquatio . . / n _ P ^ (d 4 -fXdx) o _ _ _ /C _____ ___ ^ VC^+PP) 7 t7^ - C+fXdx ) fi loco A — / ‘Xdx — / Tdy ponatur Z> E MOTU PROJECTORUM. jij »?At—X4L—rJx Atcft ponatur v, erit enim (i+pp) * y/(l +pp) radius ofculi r = — — X * : * d x 2 V _ Y d X - X dy dp , quo introduco eft — ; ubi eft ~ vis corporis centrifuga , 6c --- d ^dy exprimit vim normalem ex viribus foliicitantibus ortam ; quarum virium aequalitas utique in omni motu projec* torum locum habet. 8. Aquatio autem inventa ~ * ita ge- 1 i +pp A — fXdx — -prdy B neraliter eft integrabilis , fi multiplicetur per ; - 4 4 i -f- p p fiet enim ^-IpJ.f1 — ) __ tpXdx+rdy (i +tf) i+tP quat integrata dat P = C, feu fTJj—pyXJx = A+ C+ Cpf, und e/=^fjfgg ; pofito B pro — A — C. Cum ergo ^ f— "TT > ewt 0 X r TTs+TrlT) ~ ry ( c + 7xrx y ^uatb Pro curva quaefita , in qua variabiles x Sc y funt a fe invicem feparat^. Vel fi conftantes B & C in negativas convertantur , erit f y-B—frdy) =/ y (A——fX4x)' Ex clulbus etfi curvas conftrudtio facilis habetur, tamen aequationes algebraicae, quo¬ ties quidem in ipfis continentur , non tam facile eruuntur. Sint X &c T fun&iones fimiles & quidem poteftates ipfarum * & y , ka ut fit/— p- - — =f~p - — , qu* «quatio, \/ (h - y ) V( a - X ) ii n — i, probet Parabolam i fin »=2, Ellipfin centrum in C habentem : etfi hoc cafu utraque integratio quadraturam Circuli R r 2 requi- 31$ £ & M- O TU PRO J P € T OKU M requirit. Verifimile ergo videtur etiam aliis cafibus, quibus neutra integratio fuccedit, curvas algebraicas fatisfacere* quarum autem inveniendarum Methodus adhuc defideratur. W 9‘ Urgeatur corpus M perpetuo verfus pun&um fixum fe« cundurn diredionem MC, vi quae fit ut functio qiuccunquc dif- tantis MC, Politis ut ante CP = x, PM=^3 & dy == f dxy fit CM— (x% = t» atque fit T ea fundioip- iius / , quae exprimit vim centripetam. Refolvatur haec vis in laterales fecundum M Q & M P , erit vis trahens fecundum M = ~ i & vis fecundum M P == ; ex quibus oritur .acceleratio dv — ~ 11**== — Tdt, ob xdx+ t : t y dy=zt di ; unde fit ^ — -fTdt* Quamobrem minimum elfe debet haec expreffio fdx ex efficitur aquatio pr© curva Ndx = dP , qua? probet 5 __ Tydx\J( I -\-pp) _ dps/(A - - fTdt) _ prdt ‘ZtsJiA - -fTdt)' ( I -j-pp) v7 ( I -j~pp) % /( I -fppX-d — -J Tdt) - tecque reduda abibit in iftam , T(xd y— y dx) _____ dp; 2 i (^A ' fTdt) i pp i o. Quamvis harc aquatio quatuor contineat litteras diver- fas, tamen debita dexteritate, integrari potefh Cum enim fit ydy +• xdx .= tdt — : pydx -f - xdx, erit dk == & dy := . qui valores in sequanone fubflituti dabunt . (px — y) T dt ______ dp r_ Td t . _ _ dp(py Hh x) zCx-jypyXA- — [Tdt) ~ 1+pp' 1 2(4 — fTdt)~~~~ (i +pp)(pX'—yf Ha- X • & EMOTU PROJECTORUM. fif Harum expreffionum utraque per logarithmos efi integrabiiis 5 eft en^m / / Td t l a l\A l 2 (A - fTdt) Ml±fy> refolvitur in f-^L ~PP )( P x — y) J fi. x - — ita ut fit (l-tfifi)(fix - V - pX — y p X- - y . x+C _ . p X;_ fTdt) , & p d p T7t : •/7 i qua x- V(I +rpy ” "wV(d—fTdt) , /( I-HP) quatione declaratur, celeritatem corporis in M > qua? efi V ( A — fTdt ), effe reciproce ut perpendiculum ex C in tan¬ gentem demiffum ; quae efi proprietas palmaria horum motuum* • 11. Hoc vero idem Problema commodius refolvi poteft ip- fam re E MOTJJ PROJECTORUM* debet hatc formula fdx sj (A — fX d x ) ( i + ) - C3g qua oritur valor differentialis 4~ d . txxsfSA - fx_jxJ QU: c d { C c p p XX ) 5 A ^ per Regulam, nihilo arqual is politus , prsebebit hanc aequationem; Vc = p x*flAr-LM?) , a* + c*t?f xx = c v (cc -f-pp x x,) r * {A — fXdx ) //at4 , ex qua fic . _ _ cc d C' _ _ _ _ cc \f C _ _ _ F — /Xdx)x* - Cuxx ) x V C C A - fXdx) xx — Cea) fcu dy = - — —rTT ?■ '• — 7 7-p) y qu^ eadem «qua- tio etiam per Methodum diredam invenitur. 13. Ex his igitur cafibus perfcdilfimus confenfus principii hic ftabiliti cum veritate elucet : utrum autem ifte confenfus in cafi- bus magis complicatis locum quoque fit habiturus, dubium fu- perelfe poteft. Quamobrem quam late pateat iftud prin¬ cipium diligentius erit inveftigandum , quo plus ipfi non tribuatur quam ejus natura permittit. Ad hoc explicandum % omnis motus projedortim in duo genera diftribui debet j quo¬ rum altero celeritas corporis , quam in quavis loco habet , a fo- lo fitu pendet j ita ut , fi ad eundem fitum revertatur , eandem quoque fit recuperaturum celeritatem ; quod evenit , fi corpus vel ad unum vel ad plura centra fixa trahatur viribus, qua? fitit ut fundiones quacunque diftantiarum ab his centris. Ad alterum genus refero eos projedorum motus, quibus celeritas corporis per folum locum in quo haeret non determinatur 3 id quod ufu yenit , vel fi centra illa ad qua? corpus follicitattir fuerint mobi¬ lia, vel fi motus fiat in medio re/iftente. Hac fada divifio- ne ; notandum eft , quoties motus corporis ad prius genus per¬ tineat , hoc eft , fi corpus non folum ad unum fed ad quotcunque centra fixa follicitetur viribus quibufeunque, toties in motu hoc fummam omnium motuum elementarium fore minimam. 14. Hoc ipfum autem poftulat indoles Propofitionis : dum enim , inter datos terminos , ca quarritur curva, in qua fit fds^v minimum / eo ipfo affumitur , celeritatem corporis in utroque termino D B MOTU PAOjECTOX U M. $T? rcrmino eandem clfe , quaecunque curva corporis viam conftituar, Quotcunque autem fuerint centra virium fixa , celeritas corporis in quovis loco M, exprimitur fundione determinata ambarum variabilium C P — a *, & P M^. Sit igitur v fimdio quae¬ cunque ipfarum # & y •, ita ut fit dv=zT dx -f- Vdy i atque vi¬ deamus, an principium noftrum veram exhibiturum fit projec- toriam corporis. Cum autem fit Tdx-{- Vdy\ corpus perinde movebitur, ac fi follicitetur in M a duabus viribus, alte¬ ra Tin diredionc abfciflls x parallela, altera vero V in direc¬ tione parallela applicatis y , ex quibus oritur vis tangentialis == Tdx 4- Vdy 0 . .. - - - - , & vis normalis ds ex natura motus liberi , efie LA^d^S.-.y, Debet autem, d s 2 v Vdx ~b Tdy V+Tp r ds VCt+pp) ad quam aquationem fi Methodus maximorum ac minimorum deducat, erit utique principium noftrum veritati conforme. 15. Cum igitur , per hoc principium, debeat effe fdx^Jv (i-f-//) minimum , differentietur quantitas y/ atque 5 ob d v =■ Tdx 4- Vdy y orietur .* p d p \/ v 7Tr+7T)> e* quo Tdx V ( I +ppy Vdy yj ( c -f -pp ) ■ 2y"y 2 V v obtinetur pro curva quahlta fcquens aequatio ? fecundum prae¬ cepta tradita , VdxsJ (1 -j-pp) 2 V7 v Seu =j£±0. d p \7 v d p y/ 'D . p( Tdx -f* Vdy ) %Vv(l -ppp ) *(1+**> a +PPf2 . 2 At eft radius ofculi in (1+pp^-2 2dv(l + pp) _ _ ( 1 + PP ) dx y/ ( I -4- p i) ) . — - — jj - — i qui fi ponatur — r, erit ~ y/ { 1 +pp ) 5 omn^no ut* Pcr Methodum diredam in¬ venitur. Dummodo ergo vires follicitantes ita fuerint compa¬ rata: , ut ea: reduci queant ad duas vires T & F, fecundum di- rediones coordinatis x & y parallelas follicitantes , quae fint ut fnndioncs quaecunque harum variabilium x tum femper in eurva Fk- 27* $2p D E M O r u i» R 0 f E C T O R U M, curva defcripta erit motus corporis per omnia dementa col!c£uf minimus» 1 6* Tam late ergo hoc principium paret, ut folus motus a refiftcntia medii perturbatus excipiendus videatur ; cujus quidem exceptionis ratio facile perfpicitur, propterea quod hoc cafu .corpus per varias vias ad eundem locum perveniens non eandem acquirit celeritatem* Quamobrem , fubiata omni refiftentia in motu corporum proje&orum j perpetuo hac conflans proprietas locum habebit, ut fumma omnium motuum elementarium fit minima. Neque vero harc proprietas in motu unius corporis tantum cernetur , fed etiam in motu plurium corporum conjunc- tim j quae quomodocunquc in fe invicem agant , tamen femper fumma omnium motuum cft minima. Quod, cum hujufmo- di motus difficulter ad calculum revocentur , facilius ex primis principiis inreiiigitur , quam ex confenfu calculi fecundum utram¬ que Methodum inftituti. Quoniam enim corpora , ob inertiam , omni flatus mutationi reludantur; viribus follicitantibus tam pa¬ rum obtemperabunt, quam fieri potefl , fiquidem fint libera ; ex quo efficitur, ut, in motu genito, efFedus a viribus ortus minor effc debeat , quam fi ullo alio modo corpus vel corpo¬ ra fuiffent promota. Cujus ratiocinii vis, etiamfi nondum fatis perfpiciatur ; tamen, quia cum veritate congruit, non dubito quin, ope principiorum fanioris Metaphyfic#, ad majorem evi¬ dentiam evehi queat; quod negotium aliis, qui Metaphyficara profitentur ,, relinquo.