Ueber die physikalisohe Bedeutung des Frincips der kleinsten Wirkung. (Aas Borchardt-Crelle, Journal für Mathematik, Bd. 100, S. 137 bis 166 und S. 213 bis 222. 1886.) Wenn ich in diesem Aufsatze vom Princip der kleinsten is? Wirkung spreche, so möchte ich darunter nicht allein die ursprüngliche 1744 von P. L M. de Maupertuis*) veröflTent- lichte Form desselben verstanden wissen, die übrigens erst viel später, wohl durch Lagrange, präcise Bestimmung der Yariationsbedingungen und vollständigen Beweis empfangen hat; sondern ich will unter diesem Namen, als dem ältesten und bekanntesten, die verschiedenen transformirten Formen desselben Satzes mitbegreifen, welche später durch Sir W. Rowan Hamilton') daraus entwickelt sind. Dieser hat die zwei Differentialgleichungen aufgestellt, welche später C. 0. J. Jacobi in eine zusammenzuziehen lehrte, in denen die gemein- same Quelle dieser Transformationen und noch vieler möglichen anderen liegt, während dadurch die physikalischen Voraus- setzungen, von denen die Rechnung ausgeht, gar nicht ver- ändert werden. ^) Histoire de TAcad. des Sdenoes de Paris. 1744. Ayril 15. — Histoire de l'Acad. Boyale de Berlin. 1746. p. 267. ») Philosoph. Traosact. 1834. T. H, p. 247—308; 1835. T. I, p. 95-144. 204 Die phjsikal. ßedeutang des Princips der kleinsten Wirkung. Die genannten Forscher haben das Princip der kleinsten Wirkung zunächst nur auf die Mechanik wägbarer Körper an- gewendet und die Bewegungen eines Systems entweder ganz frei beweglicher oder durch feste Verbindungen an einander geketteter Massenpunkte dadurch dargestellt Die physikalischen Voraussetzungen, von denen sie ausgingen, waren also wesent- lich gegeben durch Newtons Bewegungsgesetze und die Art, wie man der Erfahrung entsprechend die Wirkung fester Ver- bindungen von Massenpunkten mechanisch zu definiren pflegte. Weiter zeigte sich aber, sobald man erst gelernt hatte Maupertuis' Integral richtig zu behandeln, dass die Gültig- 138 keit des Gesetzes von der Constanz der Energie vorausgesetzt werden müsse ^). Dies musste anfangs als eine erhebliche Beschränkung für den Gültigkeitsbereich des Princips der kleinsten Wirkung erscheinen, bis die neueren physikalischen Untersuchungen feststellten, dass auch das Gesetz von der Constanz der Energie allgemeingültig ist, und jene scheinbare Einschränkung also in der That nichts einschränkt Nur muss man für den untersuchten Vorgang vollständig alle Formen kennen, in denen Aequivalente von Energie auftreten, um sie mit in Rechnung zu ziehen. Andererseits konnte es fraglich erscheinen, ob mitspielende andere physikalische Vorgänge, welche nicht einfach auf Bewegungen wägbarer Massen und auf Newton 's Bewegungsgesetze zurückzuführen sind, in denen sich aber doch Energiequanta bethätigen, auch unter das Princip der kleinsten Wirkung begriffen werden dürfen. Als die für die hier beabsichtigten Untersuchungen be- quemste Form des Princips der kleinsten Wirkung werde ich eine von Hamiltons Formen wahten, welche zulässt, dass auf das betreffende mechanische System, dessen innere Kräfte nur conservative sind, noch äussere von der Zeit abhängige Kräfte einwirken, deren Arbeit besonders berechnet wird. Wenn wir mit F die potentielle Energie des Systems, mit L die lebendige * Maupertuis selbst hat dies nicht gesehen; er hält sein Princip ftir allgemeiner als das der Erhaltung der lebendigen Kräfte. Histoire de TAcad. de Berlin. 1746. p. 285. — C. ü. J. Jacohi erörtert diesen Punkt im Anfang der Vorlesung VI über Dynamik. Die physikal. Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung. 205 Kraft desselben bezeichnen, so ist die Function (Hamilton 's Principalfiinction), deren Zeitintegral bei der normalen Be- wegung zwischen den Endlagen ein Grenzwerth wird: H=F—L, während die Energie des Systems E=F-\-L ist Hierin ist F nur von den Coordinaten abhängig, während L eine homogene Function zweiten Grades der Geschwindig- keiten ist Jene Function H ist dieselbe, durch deren Differential- quotienten Lagrange die nach aussen gewendeten Kräfte des bewegten Systems ausgedrückt hat Da diese Function in allen hierher gehörigen Problemen eine wichtige Rolle spielt, möchte ich für sie eben wegen dieser Beziehung zu den Kräften den Namen des kmeUschen Potentials vorschlagen. Es ist schoA eine ganze Reihe entsprechender Namen für ver- schiedene specielle Capitel der Physik vorgeschlagen worden. i3» So gehört hierher Hm. F. E. Neumann 's Potential zweier elektrischer Ströme, Hm. R. Clausius^) eleldrodynamisches Potential] Hr. J. W. Gibbs') nennt in der Thermodynamik dieselbe Funktion, die ich freie Energie genannt hatte, Kräfl&' function ßr constante Thnperattdr, Hr. P. Duhem*) dagegen dieselbe das thermodynamisehe Potential, Es sind also Vorgänge genug für die "Wahl des neuen Namens vorhanden. Das Princip der kleinsten Wirkung kann dann so aus- gesprochen werden: Ihr für gleiche Zeitelemente berechnete negative MUtekoerth des kinetischen Potentials ist auf dem wirkliehen Wege des . Systems ein Mnimwn (bexdehlich für längere Strecken ein Qrenxr werth) im Vergleich mit allen anderen benachbarten Wegen ^ die in gleicher Zeit aus der Anfangslage in die Endlage führen. Für die Ruhe geht das kinetische Potential über in den Werth der potentiellen Energie (beziehlich des Potentials im bisherigen *) Borchardt- Grolle, Journ. f. Math. Bd. 82, S. 85. Aach in Wiedemann's Annalen Bd. I, S. 36. >) Transact Connecticut Academy III, p. 106<-248; 34^—524. Silli- mans Journal 1878. XVL p. 441—458. 3) Le Potentiel Thermodynamique. Paris 1886. 206 IHe phjsikal. Bedentang des Prindps der kleinsten Wirkung. Sinne). Für diese brauchen wir nicht den Mittelwerth zu nehmen, da die während der Bewegung verschiedenen "Werthe hier einander alle gleich werden. Für die Ruhe sagt unser Oesetz dann also einfach aus, dass die potmiieUe Energie für das Oleichgewieht ein Minimum sein müsse^). Jacobi hat gezeigt, dass die Function H auch explicite die Zeit enthalten könne, ohne die Bildung der Variation und die daraus folgende Differentialgleichung unmöglich zu machen. Ich habe dies benutzt, um zu H noch eine Sunune -2'[Pa -jp«] a hinzuzufügen, in welcher pa die Coordinaten sind, und P^ die in Richtung der Coordinate pa wirkende Kraft bedeutet, letztere in dem unten näher zu erörternden Sinne genommen. Die P« werden als gegebene Functionen der Zeit, aber imabhängig von den Coordinaten betrachtet In dieser Form liefert der Minimalsatz bei der Variation Lagrange 's Gleichungen für die Kräfte P^, und damit ist dann auch die ganze Reihe specieller Untersuchungen, die sich auf die Bewegungsglei- chungen von Lagrange gründen, unter das etwas modificirte Princip der kleinsten Wirkung aufgenommen. Wo es nöthig 40 ist dieses modificirte Princip von dem ursprünglichen zu unter- scheiden, will ich es den ABnimcUsatz des negativen kinetisc^ien PoteniuÜB nennen. Die von Lagrange gegebene Form der Bewegungsgleichungen ist namentlich dadurch von Wichtig- keit, dass wir sie auch auf Falle anwenden können, wo allerlei noch nicht rationell aufzulösende Vorgänge, Reibung, galva- nischer Widerstand u. s. w. mitwirken, und wo zwischen diesen und den durch Lagrange 's Formel zusammengefassten conser- vativen Kräften des bewegten Systems Gleichgewicht be- stehen muss. Von anderen Arbeitsäquivalenten kommen nun neben der potentiellen und actuellen Energie wägbarer Massen, nament- lich noch die thermischen, elektrodynamischen und elektro- magnetischen in Betracht. Die Wärmebewegung ist bisher >) Zn bemerken ist, dass schon Euler auf diesem Wege das Princip der kleinsten Wirkung za begründen suchte, aber er nahm den Mittelwerth von F, nicht von (jP— i). Histoire de TAcad. Boyalo de Berlin. 1751. p. 175. Die physikaL Bedeatang des Prindps der kleinsten Wirkung. 207 allerdings nur als ein besonders verwickelter Fall der Be- wegung ausschliesslich wägbarer Atome betrachtet worden. Da aber von warmen Körpern gleichzeitig Aetherwellen aus- strahlen, so wird diese Beschränkung, die unter einfacheren Voraussetzungen in der That Carnot's Gesetz abzuleiten ge- stattet, vne die Hm. Clausius^) und Boltzmann") gezeigt haben, doch nur als eine zunächst ausreichende Hypothese zu betrachten sein; die Mitwirkung anderer Kräfte, z. B. elektro- dynamischer, kann nicht mit Sicherheit ausgeschlossen werden. Dass dagegen thatsächlich die bekannten Gesetze der reversiblen Wärmevorgänge in der Form von Lagranges Be- wegungsgleichungen, also auch des Minimalsatzes des kinetischen Potentials ausgedrückt werden können, habe ich in meinen Aufsätzen über die Statik der monocykUechen Bewegungen^ nachgevnesen. Dabei zeigt sich aber, dass die Temperatur, welche die Intensität der thermischen Bewegung misst, in viel ver- wickelterer Form in die zu integrirende Function eintritt, als es die Geschwindigkeiten thun, wenn man den Werth der lebendigen Ej*aft ponderabler Systeme bildet Ich habe in den citirten Aufsätzen gezeigt, dass dergleichen Formen unter gewissen beschränkenden Voraussetzungen auch für Systeme wägbarer Massen durch Elimination gewisser Coordinaten ent- stehen können, und dass also in dem Auftreten solcher ver- wickelterer Formen kein Widerspruch gegen die Anwendung von Lagrange's Bewegungsgleichungen liegt Wohl aber wird es nothwendig, wenn man die allgemeinen Eigenschaften der Systeme, die durch das Princip der kleinsten Wirkung regiert werden, kennen lernen will, die ältere engere Annahme ui fallen zu lassen, wonach die Geschwindigkeiten nur in dem Werthe der lebendigen Kraft und zwar in Form einer homo- genen Function zweiten Grades vorkommen, und zu unter- suchen, wie sich die Sache verhält, wenn H eine Function der Coordinaten und Geschwindigkeiten von beliebiger Form ist ») Poggendorff Annalen. 1871. Bd. 142. S. 433—461. <) Wiener Sitzungsberichte 1866. Bd. LIU. Abth. U, 8. 195 bis 220. ^ Borchardt-Crelle, Joam. f. Math. Bd. 97. 8. 112 bis 123. Ab- gedruckt auf 8. 120 — 133 des vorliegenden Bandes. 208 Die physikal. Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung. Dafür, dass auch die chemiscfien Kräfte, wo wir sie zwingen können, nur auf reversible Weise zu arbeiten, dem Carnot'- schen Gesetze folgen, haben zwar erst in einer kleinen Zahl von Fällen experimentelle Bestätigungen gewonnen werden können, diese aber fallen um so mehr auf, als sie messbare Beziehungen zwischen Processen von anscheinend ganz ver- schiedener Natur herausstellen^). Endlich haben die Beobachtungen über die elektro- magnetischen und elektrodynamischen Femwirkungen ge- schlossener elektrischer Ströme zu Ausdrücken für die pondero- motorischen und elektromotorischen Kräfte geführt, die sich durchaus den von Lagrange für die Mechanik wägbarer Körper gegebenen anschliessen. Der erste, welcher eine solche Formulirung der elektrodynamischen Gesetze gegeben hat, war Hr. F. E. Neumann') senior. Bei ihm treten als Geschwindig- keiten die elektrischen Strömungen auf, d. h. die Menge der Elektrioität, die in der Zeiteinheit durch ein von materiellen Theilchen des Leiters umgrenztes Flächenelement hindurch- geht Später haben dann die Hm. W.Weber und Clausius andere Formen gegeben, in denen relative oder absolute Ge- schwindigkeiten elektrischer Quanta im Räume statt der Strom- geschwindigkeiten eintreten. Für geschlossene Ströme stimmen die Folgerungen aus diesen verschiedenen Formulirungen durch- aus überein. Für ungeschlossene differiren sie. Soweit in diesem letzteren (Jebiete Thatsachen gewonnen sind, zeigt sich, dass das Neumann 'sehe Gesetz unzureichend ist, wenn man bei seiner Anwendung nur die in den Leitern vorgehenden Elektricitätsbewegungen in Rechnung zieht. Man muss viel- mehr auch die von Faraday und Maxwell in Betracht ge- ") 8. meine drei Aufsätze über die Thermodynamik chemischer Vor- gänge. Sitzungsberichte der Berliner Akademie 1882, 2. Febr., 27. Juli. 1883, 31. Mai. Abgedruckt in der vorliegenden Sammlung, Bd, 11, S. 958—992 und Bd. HI, S. 92— 114. — Eine gute Zusammenstellung des bisher gebrachten Materials in dem oben citirten Buche von P. Duhem. ^) S. meine Arbeiten über die Theorie der Elektrodynamik. Borchardt- Crelle, Journ. f. Math. Bd. 72, S. 57; Bd. 75, S. 35; Bd. 78, S. 273. Ab- gedruckt auf 8. 545—628, 647—687 und 702-762 des ersten Bandes dieser Sammlung. Die pbysikal. Bedeutung des Principg der kleinsten Wirkung. 200 nommenen Bcwogunp^on der Eloktricität in Isolatoren, wie sie bei entstehender oder vergehender dielekti*ischor Polarisation derselben eintreten, berücksichtigen. Unter das so erweiterte 142 Neumann'sche Gesetz fügen sich auch die bisher sicher beobachteten Wirkungen ungeschlossener Ströme. Aber auch hier besteht eine Abweichung in der Form der Functionen, verglichen mit denen für wägbare Massen. Für die elektrodynamisclien Erscheinungen treten die Geschwindig- keiten der Eloktricität ia einer Function zweiten Grades auf, deren Coefficienten aber, selbst bezogen auf rechtwinkelige Coordinaten, nicht Constanten werden, wie es die Massen in dem Werthe der lebendigen Kraft ponderabler Systeme sind. Zweitens treten lineare Functionen der Geschwindigkeiten ein, sobald permanente Magnete in Wirkung treten. Es waren gerade Untersuchungen über die Form des kinetischen Potentials, welches Maxwell's Theorie der Elektro- dynamik fordert, die mich auf die vorliegenden vorbereitenden Untersuchungen geführt haben. Auch die Lehre vom Licht hat sich in allen Hauptsachen unter die Hypothese subsumiren lassen, dass der Aether ein Medium von ähnlichen Eigenschaften sei, wie die festelastischen wägbaren Körper. Die bekannten Schwierigkeiten in der Theorie der Eeflexion und Kefraction werden noch leichter besiegt durch MaxwelTs elektromagnetische Hypothese. Aber man mag der einen oder der andern Meinung folgen, so würde man das Princip der kleinsten Wirkung für die Lichtbewegung als gültig betrachten müssen, wenigstens soweit ihre Er- scheinungen durch jene Theorien erklärt werden. Daraus ergiebt sich schon jetzt, dass der Gültigkeits- bereich des Princips der kleinsten Wirkung weit über die Grenze der Mechanik wägbarer Körper hinausgewachsen ist, und dass Maupertuis' hoch gespannte Hofihungen von seiner absoluten Allgemeingültigkeit sich ihrer Erfüllung zu nähern scheinen, so dürftig auch die mechanischen Beweise und so widerspruchsvoll die metaphysischen Speculationen waren, welche der Autor selbst für sein neues Princip damals anzu- führen wusste. Es ist schon jetzt als h()chst wahrscheinlich zu betrachten, T. Holmholts, wihM>nachaftl. Abhandlongon. III. 14 210 I)io physikal. Bedeutung des Prindps der kleinsten Wirkung. dass es das allgemeine Gesetz aller reversiblen Natiirprocesse sei, und was die irreversiblen betrifft, wie z. B. Erzeugung und Leitung von Wärme, so scheint deren Irreversibilität nicht im Wesen der Sache, sondern nur auf der Beschränktheit unserer Hülfsmittel zu beruhen, die es uns nicht möglich machen ungeordnete Atombewegungen wieder zu ordnen, oder die Bewegung aller in Wärmebewegung begriflFenen Atome genau rückwärts gehen zu machen. Jedenfalls scheint mir die Allgemeingültigkeit des Princips 143 der kleinsten Wirkung so weit gesichert, dass es als heuristisches Princip und als Leitfaden für das Bestreben, die Gesetze neuer Klassen von Erscheinungen zu formuliren, einen hohen Werth in Anspruch nehmen darf. Es hat ausserdem den Vorzug die sämmtlichen Bedingungen, welche für die untersuchte Klasse von Erscheinungen von Ein- fluss sind, in den engsten Rahmen einer einzigen Formel zusammenzufassen, und dadurch einen vollständigen Ueberblick über alles WesenÜiche zu geben. Bei dieser Lage der Sache hielt ich es für nützlich für das verallgemeinerte Princip eine XJebersicht des Beweises und der allgemeinen Folgerungen zusammenzustellen, die, wo sie nur bekannte Methoden auf etwas erweiterte Annahmen anzu- wenden hatte, ganz kurz gehalten sein konnte. Ich habe mich dabei bestrebt, namentlich diejenigen Folgerungen hervorzu- heben, welche beobachtbare Verhältnisse betreffen, und die, zusammengefasst, wiederum im Stande sind, als Kennzeichen für die Gültigkeit des Princips in dem betreffenden Gebiete zu dienen. In § 1 ist mit möglichster Freiheit für die Natur der Function H der Minimalsatz des kinetischen Potentials ent- wickelt, und Lagrange's Bewegungsgleichungen daraus her- geleitet Die Eliminationen sind besprochen, durch welche auch für Systeme wägbarer Körper solche allgemeinere Formen eintreten können. In § 2 wird die Constanz der Energie aus unserer Form des Princips abgeleitet und der Wertii der Energie aus dem Werthe des kinetischen Potentials zu berechnen gelehrt. Er ist: Die physikal. Bedeutung des Princips der kleinAten Wirkung. 211 dH E = H—2\q 0*- WO ^a die Gescliwindigkeiten sind. Dabei zeigt sich, dass nicht umgekehrt in jedem Falle, wo die Constanz der Energie gewahrt ist, auch das Princip der kleinsten Wirkung gelte. Das letztere sagt also mehr aus, als das erstere, und zu finden, was es mehr aussagt, ist unsere Aufgabe. Gleichzeitig werden einige mechanische und physikalische Vorgänge speci- ficirt, um sie als erläuternde Beispiele sowohl für den Inhalt der beiden ersten Paragraphen als auch der folgenden herbei- ziehen zu können, und daran die Tragfweite des Princips an- schaulich zu machen. § 3 behandelt dann die entgegengesetzte Aufgabe, näm- lich H aus E abzuleiten. Das muss durch Integration der oben stehenden Differentialgleichung geschehen und bringt also will- kürliche Integrationsconstanten hinein, welche homogene Functionen ersten Grades der q^ sein müssen. Dieser Schritt 144 ist insofern von Bedeutung, als es nun möglich sein wird, aus der vollständigen Kenntniss der Abhängigkeit der Energie von den Coordinaten und Geschwindigkeiten das kinetische Potential und somit die ganzen Bewegungsgesetze des Systems zu finden, vorausgesetzt, dass das Princip der kleinsten Wirkung gültig ist Die nach g^ linearen Glieder, welche „verborgenen Be- wegungen" entsprechen, werden sich wohl meist ohne Schwierig- keit finden lassen. § 4 behandelt die Wechselbeziehungen zwischen den Kräften, die das System gleichzeitig nach verschiedenen Richtungen hin ausübt, und seinen Beschleunigungen und Ge- schwindigkeiten. Diese umfassen eine Reihe der interessantesten Verknüpfungen physikalischer Erscheinungen, wie z. B. die zwischen Ampöre's elektromagnetischen und elektrodyna- mischen Gesetzen einerseits und dem Inductionsgesetz anderer- seits; eine Reihe thermodynamischer Gesetze, z. B. das Ver- hältniss zwischen der Steigerung des Drucks einer einge- schlossenen Masse durch Temperaturerhöhung zu der Temperatur- erhöhung durch Compression; das entsprechende Verhalten bei thermoelektrischen und elektrochemischen Processen. Auch lässt sich schliesslich wiederum nachweisen, dass das Princip 14 ♦ 212 Die physikal. Bedeutung des Princips der kleiosten WirkuDg. der kleinsten Wirkung jedesmal gültig ist, wenn die in § 4 aufgezählten Wechselbeziehungen der Kräfte bestehen. Dieser Beweis ist aber auf eine spätere Mittheilung verschoben. In § 5 werden Hamilton 's Theoreme für die allgemeine Form kurz recapitulirt, und in § 6 werden die daraus her- fliessenden Beciprocitätsgesetze für die durch kleine Anstösse nach Ablauf einer bestimmten Zeit erfolgenden Aenderungen der rechtläufigen und rückläufigen Bewegung gegeben. Es fallen darunter reciproke Verhältnisse, die ich selbst für Schall und Licht in früheren Arbeiten, aber nur für ruliende Systeme, nachgewiesen hatte. In § 7 endlich werden die Bewegungsmomente statt der Oeschwindigkeiten eingeführt, was eine andere Form des Va- riationsproblems und neben den schon bekannten geänderten Darstellungen der Werthe der Kräfte auch ein anderes ßecipro- citätsgesetz der hin- und rückläufigen Bewegung ergiebt §1- Formulirung des Princips. Ich nehme an, das der augenblickliche Zustand des be- trachteten Körpersystems durch eine genügende Anzahl von 146 einander unabhängiger Coordinaten p^, vollständig gegeben sei ; die Geschwindigkeiten ihrer Acnderung bezeichne ich mit: qa - -^^-. (1.) Ich bezeichne femer mit Pa die Kraft, mit welcher das bewegte Körpersystem auf Aenderung der Coordinate jt?a hinwirkt, so dass ( — Pa) die äussere Kraft ist, welche auf das System ein- wirken muss in Kichtung der Coordinate ;>a, damit die voraus- gesetzte Bewegung des Systems in der angenommenen Weise vor sich gehen kann. Diese von Lagrange eingeführten Kräfte P^ sind im All- gemeinen Aggregate von Kraftcomponenten, die selbst auf ver- schiedene Theile des Systems einwirken können, und dadurch ihrer Grösse und Zusammensetzung nach definirt sind, dass (^0 • dpai diö Arbeit ist, welche die Kraft P^^ nach aussen hin Die physikal. Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung. 213 leistet, wenn die Aenderung der Coordinate i?« üi (pa-^-dPa) eintritt, während P« keine Arbeit leistet, wenn pa unverändert bleibt, während beliebige Veränderungen der übrigen Coor- dinaten pi eintreten. Wir setzen im Folgenden voraus, dass die Grössen Pa «Is Functionen der Zeit, aber unabhängig von den Coordinaten, während der Periode t = to bis t = ti gegeben seien. H sei eine Function der Coordinaten und Geschwindigkeiten, von der wir zunächst nur verlangen, dass sie in allen Lagen des während der genannten Zeitperiode durchlaufenen Weges end- liche erste und zweite Differentialquotienten nach den pa und qa habe. Wir bilden nunmehr das Integral: in welchem die pa so variirt werden sollen, dass ihre Variationen dpa für t = to und t = t^ gleich Null, in den Zwischenzeiten aber beliebige differentiirbare Functionen der Zeit seien. Dann folgt nach bekannten Methoden der Variationsrechnung, dass d

und verlange, dass werde für beliebige Variationen der pa und qa^ welche beide als unabhängige Variable zu behandeln sind. Für die Zeiten fo und ^ sollen die ip^ = 0 sein, die dq^ bleiben auch dann willkürlich. Die Variation nach qf^ ergiebt: «=fi"^-(-t-'.)]. <-> woraus die Gleichungen (1.) sich ergeben, da die Determinante der S^Hj (dqa-Sqf^) nicht identisch gleich Null sein soll. Die Variation nach den p^ ist, wie oben, auszuführen und ergiebt dasselbe Besultat Wenn man die in (1** .) vorkommende Function der pa und qa bezeichnet: 220 I^e phjsikaL Bedeutang des Princips der Ideinsten Wirkung. (es ist dies die Energie, wie der nächste Paragraph zeigen wird), so wird: Ich führe diese Form hier an, da wir auf eine analoge Form am Schlüsse stossen werden, und beide, wenn man ihnen in physikalischen Untersuchungen begegnet, ehe man sicher weiss, welche Grössen, als p^^ qa ^^^ «a anzusprechen sind, sehr fremdartig aussehen können. Andererseits sind es gerade diese Formen, welche die vollständigste Fassung dos Problems in sich vereinigen. 152 § 2. Verhältniss zum Princip von der Constanz der Energie. Wenn man die Bewegungsgleichungen (1*.) der Reihe nach mit g-^ multiplicirt und addirt, erhält man: ^''••'•) = -^[-s-'-]+4f['--|^] aL Sqa dt J =-i-{''-4'.-^ll- dq, Setzen wir, wie vorher: so können wir schreiben: 2:[P,.qa]-dt+^'dt = 0. (!•.) Büerin ist die voranstehende Simime die Arbeit, welche die Kräfte P« im Zeittheilchen dt nach aussen hin abgeben, und es ergiebt sich also, dass die Grösse E fortdauernd in dem Maasse abnimmt oder wächst, als jene Kräfte positive oder Die physikal. Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung. 221 negative Arbeit leisten. Daraus folgt, dass E den Enorgie- vorratli des Systems bezeichnet, ausgedrückt durch seine Co- ordinaten jo^ und Geschwindigkeiten q « . Daraus geht hervor, dass das Princip der kleinsten Wirkung, genommen in der Form des § 1, das Princip von der Constanz der Energie immer einschliesst Andererseits ist das Princip der kleinsten Wirkung nicht nothwendig gültig in allen denkbaren Fällen, welche dem Ge- setze von der Constanz der Energie unterworfen sind. Man kann zu dem Systeme der Gleichungen (1 * .) mannigfaltige Zu- sätze machon, welche die Ableitung der Gleichung (1 ' .) durch- aus nicht stören, wohl aber die Zusammenfassung in die Variationsform aufheben. Man addire z. B. zu derjenigen der Gleichungen (1<^.), welche in ihren Gliedern den Index a hat, ein Glied ((p^qi) und zu der mit dem Index B das Glied ( — ^'Q« sind, und jeder von beiden Indices b und c sich nach einander auf alle Stromkreise be- 166 zieht Die inducirten elektromotorischen Kräfte, die ich mit 6^ bezeichnen will, sind: & = -2[-^(ö,.c./c)], (5-.) Wenn ein permanenter Magnet mitwirkt, dessen Lage durch die Coordinate p^ gegeben ist, so kommt zu ^noch eine Reihe linearer Glieder hinzu, die ich mit h bezeichnen will, von der Form: h = -^[Äb.Jb], (5^) wo die Ri Functionen der Coordinaten p^ und p^ sind. Die Berechnung der Kräfte geschieht hieraus nach denselben Me- thoden. Die gesanmite elektrodynamische Energie ist: Die Function h verschwindet daraus, da: "-f[^'-Sr] = »- Dass das hier vorkommende E = — H^ wie die lebendige Kraft ponderabler Massen, eine noth wendig positive Grösse für geschlossene Ströme ist, habe ich in meinen elektrodynamischen Arbeiten gezeigt^). Ausserdem ist E eine homogene Function ») Borchardt- Grelle, Joum. f. Math., Bd. 72, S. 8G ff. und S. 125. Abgednickt auf S. 578 und 623 des ersten Bandes dieser Samndung. Die physikaL Bedeatong des Frincips der kleinsten Wirkung. 225 zweiten Grades der J^, und es lassen sich daher dieselben Betrachtungen anwenden, wie sie am Ende von § 1 ausgeführt sind, wonach die Determinante der Grössen d^Hj (SJa'dJh) nicht identisch gleich Null werden kann. IIL Beispiel, Thermodynamik, Die Gesetze der reversiblen thermischen Processe können bei Wahl passender Coordinaten dargestellt werden^) in der Form: p.=-i-[i?-^]-i-m, ^Q =-&. ^ dt l d& V J (6.) dt dt E=^-&.-^ + L. (6«.) Darin ist g die von mir als „freie Energie" bezeichnete i56 Function der Coordinaten pf^ und der absoluten Temperatur ^, L ist die lebendige Kraft der sichtbaren Bewegungen der schweren Massen, also Function der ^^ und g«, nach letztem homogen vom zweiten Grade, unabhängig von ^; dQ ist die Wärmemenge, die im Zeitelement dt von aussen in den Körper eindringt, d. h. die Arbeit, welche von aussen her einwirkende und nur Wärmebewegung hervorbringende Kräfte ausgeübt haben. Dieselbe Form mit geänderten Variablen erhalten wir, in- dem wir setzen: ~d¥ — ^' daan mit s irgend eine Function von S bezeichnen, und femer setzen: ^—dT' = ''' J (6».) Drücken wir nun H und s als Functionen der pa und des 17 0 Borchardt-Crelle, Journ. f. Math., Bd. 97, S. 112 bis 117. Abgedruckt aiif S. 120 — 127 des vorliegenden Bandes dieser Sammlung. Die lebendige Kraft der sichtbaren Bewegungen L ist hinzugefügt um die hier wünschenswerthe Vollständigkeit zu bewahren. T. Helmholtz» wiMensehaftl. Abhandlungen. HI. 15 167 226 1^6 physikal. Bedeutung des FrincipB der kleinsten Wirkung. aus [1. c. Abhdl. L GL (1**.)]^), so lassen sich die obigen Gleichungen schreiben: dQ , n dS ds ^ . dt ^ dt ' dt ^.= -^t«-i.)-^[^], (6-.) £=if-,.-^+L. (C.) Auch diese Gleichungen haben wie die ersten (6.), (6*.) ganz die Fonn (s. 1. c. § 3), wie die für die Bewegung mono- cyklischer Systeme, deren kinetisches Potential (H — L) ist, und für welche rj die Geschwindigkeit, s das Bewegungs- moment der monocyklischen Bewegung bezeichnet Bezeichnen wir mit P^^^ die in Richtung der Geschwin- digkeit 17 ausgeübte Kraft, so ist: P^^yfj.dt = dQ, (6/.) Die Analogie mit den Ausdrücken von Lagrange bleibt hier also gewahrt, in welcher "Weise auch die Entropie S von dem Bewegungsmoment s der monocyklischen Bewegung ab- hängen mag. Die Möglichkeit der Koppelung gleich warmer Körpersysteme zu einem grösseren System und die kinetische Gastheorie führen in diesem Falle dazu anzunehmen, dass: 1? = « . g, S=--g-=C.log« sei. Danach wäre für jedes gegebene Körpersystem die Temperatur proportional der lebendigen Kraft der Wärme- bewegung zu setzen, wie vor mir auch schon die Hm. Glausius und Boltzmann wahrscheinlich zu machen gesucht haben'). Die späteren Anwendungen unseres Beispiels sind >) Abgedruckt auf S. 125 des vorliegenden B&ndes. ') Idi habe in einer Mittheilnng an die Berliner Akademie (Sitzungs- berichte 8. December 1884) diesen Satz bestimmter ausgesprochen, aber dann erkannt, dass ein Schritt im Beweise nicht gesichert werden konnte, •ondem noch eine weitere einschränkende Bedingung erfordere, deren phy- sikalische Bedeutung ich noch nicht so zu interpretiren weiss, wie ich hoffe, dass es geschehen kann. Ich muss daher die von Hm. L. Boltzmann gegen jenen Au&atz gemachten Einwände (Wiener Sitzungsberichte (2) Abth., XCn. Bd., 8. October 1885) als in dieser Beziehung berechtigt anerkennen. Die phjsikaL Bedeatang des Princips der kleinsten Wirkong. 227 unabhängig von der Frage nach der Beziehung zwischen den Functionen S und s. Die Wärmebewegung ist wahrscheinlich als ein besonders weit gehendes Beispiel von Elimination von Coordinatenjöc auf- zufassen, H kann deshalb eine verwickelte Function von ^ oder 1] sein. Dass aber auch viel zusammengesetztere Be- wegungsweisen, die den inneren Molecularbewegungen der warmen Körper schon viel ähnlicher sind, zu den gleichen Gesetzen führen können, haben meine Untersuchungen über die zusammengesetzten monocyklischen Systeme gezeigt §3. Das kinetische Potential aus dem Werthe der Energie herzuleiten. Bei den physikalischen Untersuchungen ist meist leichter und sicherer zu erkennen, welches die Umstände sind, die auf den Energievorratii irgend eines Eörpergystems Einfluss haben, und danach den WerÜi der Function E zu bestimmen, als die gesammten Gesetze der Yeränderungen und aus diesen das kinetische Potential zu finden. Wir kommen also nun zur Untersuchung darüber, in wie weit das letztere aus dem Wertiie des Energievorratiis bestimmt werden könne. Wir setzen voraus, das die Grösse E als Function der Pa und qa gefunden sei Für die Form dieser Function ergiebt sich aus Gleichung (1*.)* Daraus folgt: is$ Bei der zur Bildung der Bewegungsgleichungen nötiiigen Variation der in Gleichung (1*.) gegebenen Function (P musste vorausgesetzt werden, dass die ersten und zweiten Differential- quotienten von H längs des von dem Systeme durchlaufenen Weges stets endlich bleiben. Danach folgt aus Gleichung 15 ♦ 228 ^^^ physikal. Bedeutung des Prindps der kleinBten Wirkong. (7.), dass, wenn sämmtliche ^^^ = 0, auch alle dE j dqa gleich Null werden. Andere Beschränkungen der Function E^ die durch die physikalische Bedeutung gegeben sind, mögen hier nui* kurz erwähnt werden. 1) Die vorkommenden Coordinaten können sich bei einem freien System nur auf die relative Lage der Massen des Systems beziehen, weil überall im Baume bei gleicher relativer Lage der Massen zu einander der gleiche Bewegungsvorgang muss vorgehen können. 2) Der Werth von E muss für endliche Entfernungen der Massen und endliche Geschwindigkeiten ein endliches Minimum haben; sonst wäre, der Arbeitsvorrath des Systems un- endlich gross. Also muss für unendlich wachsende qa der Wertii von E eine nothwendig positive Grösse werden. "Welche un- zulässige Folgerungen aus der gegentheiligen Annahme fiiessen, habe ich für die elektrodynamische Theorie von Hm. W. Weber zu zeigen gesucht^). Aus der Gleichung (1*.) ergiebt sich zunächst leicht, dass, wenn H als eine Summe von homogenen ganzen Functionen der qa verschiedenen Grades dargestellt werden kann, dasselbe für E der Fall ist. Bezeichnen wir eine homogene Function ,jten Grades der q^ mit P« und ist: n ^ ' SO ist: n oder: E = Po— A— 2^8 etc. Die Glieder ersten Grades Pi fallen im Werthe von E 169 weg, Po entspricht der potentiellen, von der Bewegung unab- hängigen Energie, die wir oben mit F bezeichnet haben, P, dem ( — L). Höhere Glieder kommen in den Problemen für ») Borchardt- Grelle, Journ. f. Math., Bd. 72, S. 85. § 4 bis § 7; Bd. 75, a 35—62. Abgedruckt auf S. 578—611 und 647—679 des eisten Bandes dieser Sammlung* Die phjsikal. Bedeutong des Princips der kleinsten Wirkung. 229 die Mechanik wägbarer Körper nur in den durch Elimination gewisser Coordinaten pc veränderten Fällen vor. Uebrigens lässt sich die gestellte Aufgabe auch lösen, wenn E eine ganz vnükürUche Function der Gtesckwindigkeiten ist, die nur der schon oben gestellten Bedingung genügt, dass alle dE I dqa nach Gleichung (7.) sich dem Werthe Null nähern, wen n die qa = 0 werden. Es wird für unseren Zweck ausreichen die obengemachte Bestimmung festzuhalten, wonach die Coef- ficienten in dem Gleichungssystem (7.) endlich sein sollen, o b- gleich auch Fälle zulässig wären, wo jene Coefficienten integrir- bar unendUch würden. Wir wollen zur Lösung unserer Aufgabe statt der g« in den Werthen des E und des H setzen: qa = x.qaj (8.) und unter x einen veränderlichen Factor verstehen, bei dessen Aenderung sich zwar die absoluten Werthe der g«, nicht aber ihre gegenseitigen Verhältnisse ändern. Die Functionen H und E bezeichne ich, nachdem diese Substitution gemacht ist, mit H' und E', Dann ist: SE' ^r dEl ,Q^, Da nach der bei Gleichung (7.) gemachten Festsetzung alle BEI dqa = 0, wenn alle ^a = 0? dies aber eintrifft nach Gleichung (8.), wenn a; = 0, so ergiebt sich, dass : -^ = 0, wenn a; = 0, (8*.) und zwar wird das dE' j dx fixt sehr kleine x dem x selbst nach unseren Annahmen proportional werden müssen, wenn nicht einer höheren Potenz des x. Andererseits haben wir: dH' „r 5^1 also: dH X ^=^^-^] = -^'+^'' <^'-> dx ZI"' h und daher: 230 ^16 pbysikal. Bedeutung des Prindps der kleinsten Wirkung. 160 Wenn für die Differentialgleichung (8*^.)* E' = H'-x.^ (8*.) noch eine zweite Lösung existirt, die wir mit H" bezeichnen wollen, so ist: d. h. log {B—H") = log X + log C oder: ja — Ja = X , C, worin C eine Function der q^ sein kann. Dieselbe kann aber nur homogen ersten Grades sein, wenn {B! — B!') auch als Function der g«, die von x frei ist, soll dargestellt werden können. Nun brauchen wfr nur noch ein particuläres Integral der Gleichung (8«.) zu finden. Ein solches erhalten wfr, wenn wir zunächst die Gleichung (8*.) für x = 0 schreiben: und diese von (8^.) abziehen: {E-- Eo) = (H'-Ho)-x.-^ [H'- Ho]. Durch X* dividirt, giebt dies: Nach den zu (8*.) gemachten Erörterungen ist die links stehende Grösse auch für x = 0 endlich, und wfr erhalten also durch Integration zwischen den Grenzen x = 0 und X = 1: 1 H'-Ho = -( ^^' dx + fi,, (8/.) worin die Integrationsconstante ffi, wie bemerkt, irgend weiche homogene Function ersten Grades der q^ sein kann. Die phyaikaL Bedeutung des Frincips der kleinsten Wirkung. 231 Es ist also E eindeutig mittels der Gleichung (1 * .) aus H abzuleiten, während bei der Herleitung von H aus E die hin- zuzufügende Function ifj, die den „verborgenen" Bewegungen entspricht, unbestinunt bleibt Ob solche Glieder ersten Grades sich einmischen, wird bei speciellen Aufgaben meistens aus den Bedingungen, unter denen die Bewegung rückläufig vor- sieh gehen kann, zu ermitteln sein. "Wenn man also bei dem betreffenden Probleme weiss, lei welche physikalischen Grössen im Werthe von E als Coor- dinaten, und welche als Geschwindigkeiten zu behandeln sind, so kann man der Regel nach die hier gestellte Aufgabe lösen. Aber es kommen auch gegentheilige Fälle vor, wo die Ent- scheidung über die genannte Frage unsicher erscheint §4. Die allgemeinen Eigenthümlichkeiten der Kräfte bewegter Systeme. Es ist bekannt, dass die nach aussen wirkenden E!räfte ruhender Systeme,^ die dem Gesetz der Constanz der Energie genügen, gewisse gesetzmässige Beziehungen zu einander zeigen, die sich in den Gleichungen: dpi dpa aussprechen, und dass, wenn diese Gleichungen erfüllt sind, sich der Werth der potentiellen Energie finden lässt Ebenso lassen sich auch für bewegte Systeme, welche dem Minimalsatze der kinetischen Energie unterliegen, ähnliche Beziehungen aufstellen, welche sich unmittelbar aus Lagrange 's Ausdrücken für die Kräfte ergeben. Diese sind dabei nicht bloss, wie in den ruhenden Systemen, als Functionen der Co- ordinaten jö«, sondern auch als solche der Geschwindigkeiten 7a und der Beschleunigungen: aufzufassen. Gleichung (l^): 232 I)is physikaL Bedentong des Fiincips der Ueinsten Wirbing. P.= +4f-] 5pa diV. dqt ei^ebt unmittelbar: A, Kräfte und Beschleunigungen, Wie man sieht, sind, in dieser Form dargestellt, die Kräfte lineare Functionen der Beschleunigungen. Der Goeffident des g'jim Werthe der Kraft P« kann also geschrieben werden: dp, _ dm _ dP, d. h. also: Wenn die Beschleunigung q\ die Kraft P^ um einen 162 gewissen Beirag grösser macht, so macht die gleicJi grosse Be- schleunigung q\ die Kraft P^ v/m den gleidien Betrag grösser. Ob ein solcher Einfluss in einem gegebenen Falle vorkommt oder nicht, hängt davon ab, ob die Grösse 5*lf / {^qa-^qh) verschieden von Null oder gleich Null ist Null ist die genannte Grösse zum Beispiel für die Bewegungen eines vollkommen freien Systems wägbarer Massenpunkte, wenn sie auf rechtwinkelige Coor- dinaten bezogen werden. Jede einzelne Kraftcomponente wirkt beschleunigend nur in Richtung derjenigen Coordinate, auf die sie sich bezieht Bei dem Kreisel im Beispiel I des § 2 haben wir: BA dB dß" Ba" BA BC Bf Ba" BC BB Bß" Bf ' worin a", /9", f die Beschleunigungen der Winkel a, ß, y be- zeichnen. Im Beispiel n für die elektrodTuamischen Wirkungen ist: aPg _ a®r _ A BT^ ~ Bq\ ~ ' B^ _ a@c BJ\ ~~ BTi • Die physikal. Bedeutimg des Princips der kleinsten Wirkung. 233 Die erstere Gleichung sagt aus: Da die ponderomotorische Kraft der Stromkreise nicht von der Beschleunigung der Ströme abhängt, so kann auch die indudrte elektromotorische Kraft nicht von der BescfUeimigung der Stromleiter abhängen (wohl aber in beiden Fällen von den Geschwindigkeiten). Die letztere Gleichung sagt aus, dass, wenn bei der gegebenen Lage und Form der Stromkreise b und c Steigerung der in b wirkenden Kraft @( durch elektrodynamische Induction J^ ansteigen macht, die gleiche Steigerung der Kraft @c dasselbe für Ji bewirkt Im Beispiel m für die thermodynamischen Wirkungen fallen diese Wechselbeziehungen fort, da die lebendige Kraft L der schweren Massen nicht von der Temperatur abhängt, und also Producte i? • ^^ im Werthe von (g — L) = H nicht vorkommen. B, Beziehungen zunschen Kräften und Oeschmndigkeiien. Aus den Gleichungen (7.) folgt weiter: dPg ^ Bm dm d V dm t dq% Bpa-dqi ' Spi.dqa dt LBga-Sq^ J Also: dqi ' dq^ dt Ldq^^-dq^A (9".) =2 Ari5Ll=: O jLfJ^l * dt \.dq\\ c^ldq\\' In der sehr grossen Zahl von Fällen, wo: -5-r- = -ä-^ = -5 5— = Const, (9«.) folgt daraus: dqi dq, (9"-) d. L wenn Steigerung der Geschwindigkeit g^ bei gleichbleibender Lage und gleichbleibenden Beschleimigungen die Kraft P^ u^achsen macht, so unrd entsprechende Steigenmg von q^ die Kraft P^ ver- ringern. In den zu A angefühi?ten Beispielen sind schon die Fälle bemerkt, in denen die Vorbedingung (9«.) erfüllt ist. Sie zeigen am besten die ausgedehnte Bedeutung dieses Satzes, 103 234 I^e physikal. Bedentimg des Princips der kleinsten Wirkung. aber auch dass man die Erfüllung der Yorbedingung controlliren muss, ehe man statt des allgemein richtigen Satzes (9^.) den einfacheren (9**.) anwendet Beispiel L Wenn eine Kraft, welche den Winkel ß ver- grössert, d. h. die Axe des Kreisels von der Yerticale zu ent- fernen strebt, grössere Präcessionsbewegung daldi unterhält, so wird eine Kraft, welche die Präcessionsbewegung zu be- schleunigen strebt, die Axe der Verticallinie zuführen. Beispiel II, Elektrodynamisches Indudionsgesetz nach Lenz, Die Bewegung zweier Stromkreise gegen einander, welche durch die ponderomotorischen elektrodynamischen Kräfte unter- stützt wird, bringt elektromotorische inducirte Kräfte hervor, die den Strömen entgegenwirken. Die entsprechende Beziehung gilt für Bewegung eines Magneten gegen einen Stromleiter. Beispiel HI. Thermodynamisch. Wenn Steigerung der TenV' peratur den Druck eines Körpersysienis steigert, toird Gompressum desselben die Temperatur steigern. Für diesen Fall können wir die Gleichung (9*.) nach Multiplication beider Seiten mit 97, mit Beziehung auf die Be- zeichungen und Erläuterungen von § 2 zu diesem Beispiel, schreiben: Bq, 164 oder nach (B-^.): dq Nun ist nach (6^): dQ ds dt Also ist: ^qA dt } ^ dP. ÖlOff) (9^) = n dt = ^-f[-^-^^0+ ^ ds dtj dtj dt ds Bqo, V. dt J ^ dpa ' Nach (6**.) war: and da L unabhängig von ij, so ist: (9/.) 1 Die physikal. Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung. 235 SP, d^H da Sri dpa^drj dp^' (9^.) wodurch in Verbindung mit (9-^.) die Richtigkeit der Gleichung (9 « .) bestätigt wird, und somit auch die Anwendbarkeit unseres allgemeinen Satzes. Dabei könnte jede beliebige unter den Functionen r^ der Gleichung (6^.) als Geschwindigkeit ange- sehen werden, nur muss dann entsprechend drildt als Beschleu- nigung gelten. Auch die Temperatur ^ gehört in die Beihe der integrirenden Nenner 17, so dass also auch: r dQ'} dPa [fh dqa L dt J 51ogd ' Da bei dieser Anwendung d^ j dt = 0 sein soU, so ist ~p — I "^/ I ^® Geschwindigkeit, mit welcher Wärme ein- tritt, wenn der Parameter ^a n^it der Geschwindigkeit qa wächst, während ^ constant bleibt Dies giebt die oben gegebene Formulirung des Satzes. Dieselben Betrachtungen lassen sich auch auf die rever- siblen Theile thermoelektrischer und elektrochemischer Vor- gänge anwenden. Peltiers Phänomen, Wenn Erwärmung einer Stelle einer ge- schlossenen Leitung einen elektrischen Strom hervorbringt, so wird derselbe Strom dort Kälte entunckeln (abgesehen von der Wärme- entwickelung durch den Leitungswiderstand). Elektrochemisch: Wenn Erwärmung eines constanien galvor nischen Elements die elektromotorische Kraft steigert, unrd der k» Strom in detnselben Wärme latent machen^). Die obigen Formeln zeigen aber nicht nur den Sinn der Aenderung an, sondern geben auch gleichzeitig Aufschluss über die Quantitäten, um die es sich handelt. 1) Siehe meine Abhandlungen zur Thennodynamik chemischer Yorg&nge. Sitzungsberichte der Berliner Akademie 1882, 2. Febr., S. 24—26; 1882, 27. Juli, S. 825—835. Abgedruckt auf S. 958 und 979 des zweiten Bandes dieser Sammlimg. 236 ^e physikal. Bedeutung des Prindps der kleinstea Wirkung. C, Bexiehwigen zwischen den Kräften und GoordincUen, Endlich folgt aus Gleichung (9.): dpi Spa dtldqa'dpi Sqi'dpaJ 1(9*) _, d I dPg dP, 1 ^ dt l dqj, dqa J • Für den Fall der Ruhe, wo die rechte Seite NuU wird, ergiebt sich hieraus das allgemeine Gesetz aller conservativen Kräfte: dPa __ SP, Dieselbe Bedingung ist aber auch erfüllt, wenn zeitweilig die Bewegung so vor sich geht, dass die rechte Seite von Gleichung (9*.) gleich Null ist So kön^ien wir das Gesetz (9*.) auch anwenden um für die Kräfte warmer Körper, beziehlich mono- cyklischer Systeme eine Kräftefunction zu bilden, falls nur während der Bewegung eine der Functionen rj der Gleichung (6*.) constant bleibt Wenn wir dabei die lebendige Kraft der geordneten Bewegungen L vernachlässigen, ist nach Gleichung (6^.) einfach: _ J^ also unsre Gleichung (9«.) erfüllt In diesem Falle sind wir aber fast immer, wenn wir uns mit der Mechanik irdischer Körper beschäftigen, die mehr oder weniger Wärme enthalten. Trotzdem die Körper innerlich heftig bewegt sind, können wir z. B. für die Theorie ihrer elastischen Wirkungen vermöge des iiier aufgewiesenen Gesetzes Kräftefunctionen der Molecular- kräfte bilden und anwenden, als ob ihr Gleichgewichtszustand der eines stabilen Gleichgewichts in absoluter Ruhe wäre. Ich will hier noch bemerken, dass die in den Gleichungen: ePa SP^ 1C6 BP, (9«.) +^='-i[-wA •''■' Bqi 3qa dt L Bq\ ep„ dPy , d V dP„ dP, BPj -t d V ePg SP, 1 Die physikal. Bedeutung des Phndps der kleinsten Wirkung. 237 ausgesprochenen gegenseitigen Beziehungungen der Kräfte in Verbindung niit dem Umstände, dass die P^ lineare Functionen der q\ sind, was man schreiben kann: V=0, (9*.) Sq\ . dq\ und mit den früher gegebenen Definitionen: genügend sind, um nachzuweisen, dass ein kinetisches Potmiial besteht, dass die Kräfte Pa in der von Lagrange angegebenen Weise durch die DifFerentialquotienten desselben ausgedrückt, und dass die Bewegungsgleichungen auf das Princip der kleinsten Wirkung reducirt werden können. Die hier zusammengestellten Beziehungen der Kräfte ent- halten also eine Tollständige Charakteristik derjenigen Be- wegungen, welche dem Princip der kleinsten Wirkung unter- liegen. Der Beweis für diesen Satz lässt sich mit den bis jetzt vorbereiteten Hülfsmitteln der Analysis für den Fall, dass nicht mehr als drei Coordinaten ^^ vorkommen, unmittelbar geben. Dazu werden aber Sätze aus der Theorie der Potential- functionen im Räume von drei Dimensionen gebraucht Will man auf mehr Coordinaten jp^ übergehen, so braucht man die entsprechenden Sätze für eine grössere Zahl von Coordinaten Dieselben lassen sich bilden, soweit sie für unseren Beweis nöthig sind. Da dies aber eine Sache von selbständigem In- teresse ist, so schien es mir nicht passend sie hier nur neben- sächlich abzuthun, und ich ziehe deshalb vor, den genannten Beweis bei einer andern Gelegenheit zu geben. Andere allgemeine Eigenthümlichkeiten der unter dem Principe der kleinsten Wirkung ablaufenden Bewegungen wer- den in den nächsten Paragraphen beschrieben werden. 238 I^ phyeikaL Bedeutang des Princips der kleinsten Wirkung. 218 . § 5. Yerallgemeinerung von Hamilton's Differentialgleichung. Hamilton hat die von ihm unter etwas engeren Vor- aussetzungen gebildete Function 0 * = j {F—D . dt als Function der Zeit < = ^ — ^o ^^^ dßr Werthe der Coor- dinaten zu den Zeiten ^ und ^o darzusteUen gelehrt Wir wollen die Goordinaten und Bewegungsmomente für die Zeit ti mit pa und Sa^ für die Zeit ^ mit pa und jSa bezeichnen. Vorausgesetzt ist, das während der Zeit (^ — ) Histoire de TAcad. Roy. de Berlin 1752 p. 295. «) Leibniz' Mathematische Schriften Abtb. II. Bd. U. S. 345—366. Zur Geschichte des Prmdps der kleinsten Action. 251 rechtfertigen. Die Abhängigkeit von der Gteschwindigkeit aber begründet Leibniz durch eine, oder eigentlich zwei neue Voraus- setzungen, von denen er aber nur die erste als Axiom deut- lich bezeichnet, nämlich : „Es ist eine grössere Action, wenn die- selbe Masse durch dieselbe Weglänge in kürzerer Zeit geführt wird". Die zweite Voraussetzung bezeichnet er allerdings als Propositio quarta. Wir können sie aber nicht als bewiesen an- sehen. Es kann höchstens als eine plausible Hypothese gelten, dass bei vier Bewegungen, wo immer die gleiche Masse den gleichen Weg zurücklegt, die Actionswerthe eine Proportion bilden, wenn die gebrauchten Zeiten eine solche bilden. Von diesem Satze aus kommt der Autor dann auf einem ziemlich umständlichen Wege zu den angegebenen Ausdrücken für den Werth der Action. Man erkennt hier deutlich, dass es ihm darum zu thun ist, diesen bestimmten Werth der Action als den nothwendig rich- tigen nachzuweisen und die Lücke in seinen Schlüssen, die nur durch Thatsachen auszufüllen wäre, durch wahrscheinliche An- nahmen möglichst zu decken. Er muss ein Ziel vor Augen gehabt haben, für welches er gerade diesen Werth der Action und deren Begriff brauchte. Dieses Ziel aber kommt nicht zum 227 Vorschein, da die genannte Abhandlung über die Dynamik nicht vollendet worden ist Er schreibt darüber an Joh. BernouUi,^) dass er das in Italien ausgearbeitete Büchlein in Florenz einem befreundeten ausgezeichneten Mathematiker (nämlich dem Frei- herm von Bodenhausen), der ihn darum bat, zurückgelassen habe um es herauszugeben; „et ille redegit in mundum omnia studiose; sed cum finis libro adhuc deesset, quem summittere in me receperam, per me stetit hactenus, quominus editio se- queretur; nondum enim colophonem adjeci, partim quod multa nova subinde nascerentur, quae mererentur addi, partim quod his, quos videbam mea non ut par erat aocepisse, nollem velut obtrudere pulchras veritates^'. Das Originahnanuscript trägt noch Bandbemerkungen, die auf die Absicht einer Revision hindeuten. Veröffentlicht wurde nur ein kürzerer Auszug in den Actis >) Leibniz'ens Mathematische Schriften, von Gerhardt Abth. L Bd. m. S. 259. Abth. H. Bd. H. S. 15. 252 Zur Geschichte des Prmcips der kleinsten Action. Eruditorum 1695, dessen zweiter Theil aber ebenfalls unver- öffentlicht liegen blieb. Darin kommen Erörterungen vor über den Begriff der Action, die mit der oben von mir gegebenen Interpretation durchaus übereinstimmen, aber nichts weiter über das Maass der Action. Was kann nun Leibniz für einen Zweck dabei gehabt haben, dass er diesen Begriff bildete? Wie grossen Werth er darauf legte, zeigt die Ausführlichkeit seiner Erörterung und Begründung desselben. In dem uns vorliegenden Text liegt der einzige Gebrauch, den er davon macht, darin, dass er einen der Wege um den Werth des Arbeitsaequivalents (Potentia) der bewegten Körper zu bestimmen, darauf gründet*) Dazu schiebt er freilich ohne weitere Rechtfertigung die Voraussetzung ein, dass bei verschiedenen Geschwindigkeiten die Potentia der in gleichen Zeiten geleisteten Actio formaUs proportional sein müsse. Er selbst bezeicimet diese Herleitung als gegründet auf die Ver- hältnisse der reinen Bewegung nach Abstraction von allem wahrnehmbaren Stoffe, und erklärt, dass sie ihm als die vor- züglichste erschiene, wenn sie auch vielleicht nicht nach dem Geschmacko Aller sein würde. Seine drei anderen Beweise sind auf beobachtete Thatsachen gegründet, und erscheinen uns allerdings nach unserer jetzigen Denkweise als die allein brauch- baren. Aber aus dieser Verwendung des Begriffs der Action wird doch deutlich, was ihn bewogen hat die Fortsetzung der ein- geleiteten Bewegung unter dem Einfluss des Beharrungsver- mögens nicht als einen nur passiven Zustand, als Inertia, son- 228 dem als Actio aufzufassen; denn sie ist Trägerin eines Arbeits- aequivalents, einer Potentia, deren Unzerstörbarkeit er vermutliet, und deren Übergang in andere aequivalente Arbeitsformen er schon kennt Wenn er aber mit dem Begriffe der Action nichts weiter beabsichtigt hat, als den Werth der actuellen Energie zu finden, so muss man dies einen seltsamen Umweg nennen, der kaum *) Dynamica P. I. Specimen praeliniinare. Demonstratio quarta (S. 291) und Sect. UI Cap. 2 (S. 3ö9). Zur Geschichte des Princips der kleinsten Action. 253 geeignet war, auf seine Gegner, namentlich die Anhänger von Descartes, Eindruck zu machen. Die einzige Verwendung, welche der Begriff der Action in der späteren Entwickelung unserer Dynamik gefunden hat, ist die im Principe der kleinsten Action, und dieses bekommt in der That einen anschaulicheren Sinn, wenn wir Leibniz'ens Begriff der Action hineintragen. Nehmen wir dasselbe in der von Lagrange vervollstän- digten Form. Es wird vorausgesetzt, der unveränderliche Werth der gesammten Enei^e E sei gegeben; .dadurch ist in der augenblicklichen Lage des Systems also auch der Werth der lebendigen Kraft L bestimmt, da die potentielle Enei^e F nur von der Lage abhängt, und L = E — R Dadurch ist nun auch bestimmt, welches der Gesammtwerth der Leistungen des Beharrungsvermögens im nächstfolgenden Zeit- elemente dt sein wird, nämlich L • dt. Welche Wege aber die einzelnen schweren Massen des Körpersystems, und in welchen Richtungen sie diese einschlagen werden, wie sich also der ge- gebene Betrag der Action auf die einzelnen Massen und Rich- tungen vertheilt, das hängt für das Zeitelement dt ganz allein vom Beharrungsvermögen ab bis auf verschwindende Grössen zweiten Grades. Und hier tritt nun die Regel ein: die Fort- bewegung geschieht so, dass die am Ende von dt eintretenden Lagen von den vor dem Anfang von dt zunächst zurückliegenden nicht durch eine kleinere Leistung des Beharrungsvermögens hätten erreicht werden können, als die wirklich aufgebrauchte ist Für kleine Abschnitte des Weges ist bekanntlich die Action immer ein absolutes Minimum.^) Lidem man das Princip also auf hinreichend kurze Wegabschnitte anwendet, wird man in seiner Formulirung von den Verwickelungen frei, welche die Maximo-Minima der Action für längere Wege herbeiführen.. Dieser Regel entsprechend ist auch der deutsche Namen der Trägheit für das Beharrungsvermögen ganz passend. Die 1) S. Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, herausgegeben von Clebsch. Vorlesung VI, S. 45—49. 254 Zur GeBchichte des Frindps der Ideinsten Action. Trägheit, durch das Gesetz der Energie zur Action gezwungen, 229 yenneidet wenigstens überflüssige Action; aber ihre Voraussicht erstreckt sich nur auf kürzeste Zeiträume. In Leibniz'ens Abhandlung über Dynamik und auch in seiner darüber mit Joh. Bernoulli geführten Correspondenz, wo er (a. a. 0.) seine Bestimmung des Werthes der Action ver- theidigt, ist keine bestimmte Andeutung über das genannte Frin- cip enthalten, ausser dass er multa nova, quae mererentur addi, unbestimmt erwähnt Indessen hat ihm offenbar die Entdeckung des Princips der kleinsten Wirkung gleichsam vor den Füssen gelegen, und ich gestehe, dass mir bei dieser Lage der Dinge die Ächtheit des von Samuel Eoenig 1751 veröffentlichten Brieffragments, ^) welches von Leibniz herrühren und an den Baseler Mathematiker Hermann gerichtet sein sollte, sehr wahr- scheinlich erscheint Darin heisst es: „L* Action n'est point ce que vous pens6s, la consideration du tems y entre; eile est comme le produit de la masse par le tems, ou du tems par la force vive. J'ai remarqu6 que dans les modifications des mouvemens eile devient ordinairement un Maximum ou un Minimum. On en peut deduire plusieurs pro- podtions de grande consequence; eile pourroit servir ä deter- miner les courbes que decrivent les corps attir6s ä un ou plu- sieurs centres. Je voulois traiter de ces choses entr' autres dans la seconde partie de ma Dynamique, que j'ai supprim6e; le mauvais accueil, que le prejug6 a fait ä la premiöre, m'ayant degoutö." Der Schluss stimmt mit dem Schluss des oben citirten la- teinischen Briefes an Joh. Bernoulli diuxjhaus überein.*) Aber auch, wenn der Brief acht ist, zeigt der Ausdruck, die Action sei „gewöhnlich" ein Maximum oder Minimum, an, dass er die Bedingungen der Variation und die Grenzen für die Gültigkeit des Satzes nicht genau gekannt hat; abgesehen davon, dass die Action niemals ein absolutes Maximum werden kann, nur ein Maximo-Minimum. *) Acta Eruditorum. 1751, Martii P. II, p. 176. *) Dieser Briefwechsel ist nach der Angabe von C. J. Gerhardt schon 1745 heraasgegeben; die Übereinstimmung beweist also nichts für die Ächt- heit des 1751 Teröffentlichten Fragments. Zur Geschichte des Princips der kleinsten Action. 255 Übrigens würde gerade dieser Umstand, das Schwanken zwischen Maximum und Minimum sehr geeignet gewesen sein, ihn in der Veröffentlichimg zögern zu lassen. Wäre die Action ein sicheres Minimum gewesen, wie Maupertuis später glaubte, 80 würde das Princip wohl auch in Leibniz'ens Augen viel wichtiger erschienen sein. So könnte er es noch für unfertig gehalten haben. Wenn wir diesen Betrachtungen von Leibniz über die Be- deutung der Action weiter folgen, so sagt das Princip der klein- sten Action bei Voraussetzung hinreichend kurzer Wegstücke 230 aus, dass das bewegte Eörpersystem, wenn es seine Bewegung von der Lage a aus über die Lage b fortsetzt und demnächst die Lage c erreicht, letztere von a aus auf keinem anderen Wege als dem über b eingeschlagenen mit so geringer Action erreicht werden konnte. Dagegen hätten alle anderen Lagen, die von b aus mit dem gleichen Aufwände von Action erreicht werden konnten, und die nicht die normalen Fortsetzungen des früheren Weges gewesen wären, auch mit geringerer Action erreicht werden können. Der Erfolg der wirklichen Bewegung ist also der weitreichendste, der mit dem gegebenen Betrage von Action erreicht werden konnte. Hierin liegt die Ähnlichkeit mit dem Verhalten der geo- dätischen (oder wie ich sie bei einer früheren Gelegenheit zu nennen vorgeschlagen habe, geradesten) Linien auf einer kmnunen Oberfläche. Jedes Stück derselben, was unterhalb einer gewissen Länge bleibt, ist der kürzeste Weg zwischen seinen Endpunkten, und bei einer Fortsetzung über den End- punkt hinaus um eine kleine Länge ds ist der zweite Endpunkt von ds entfernter von jedem kurz vor dem ersten Endpunkt liegenden Funkte der Linie, als jeder andere Funkt, der in dem gleichen Abstände ds von deren Endpunkte liegt Dem ent- sprechend tritt auch in Jacobi's analytischer Form die Ana- logie des Problems mit dem der isoperimetrischen Curven deut- lich heraus. In denjenigen Fällen, wo die Abweichung der bewegten Punkte von der geraden Linie nur von festen Verbindungen herrührt, denen dieselben unterliegen, und keine Bewegungs- kräfte auf dieselben einwirken, also wo auch die lebendige Kraft 256 Zar Geeohicbte des Frincips der kleinsten Action. Constanten Werth L hat, reducirt sich der Worth der Action auf das Product L • t Nur der letztere Factor ist noch veränder- lich, wenn der Weg varürt wird. Daher redudrt sich das Prin- cip der kleinsten Action unter dieser Bedingung auf die Forde- rung, die Fortsetzung der Bewegung solle so geschehen, dass die zunächst zu erreichenden Lagen von den zunächst voraus- gehenden bei dem vorgeschriebenen Werthe von L nicht hätten in kürzerer Zeit erreicht werden können. Wenn aber Kräfte einwirken und daher die lebendige Kraft veränderlich ist, so weichen die bewegten Körper von ihrem Wege nach der Seite hin ab, wo die Kräfte sie hinziehen, die potentielle Enei^e also abnimmt, und die lebendige Kraft zu- nimmt Ihr wirklicher Weg erfordert also mehr Zeit, als der bei entsprechender lebendiger Kraft zurückzulegende schnellste Weg zwischen den Endpunkten des Wegstücks erfordert hätte, ist aber mit geringerer lebendiger Kraft zurückgelegt worden, als wenn das Körpersystem schon von Anfang an sich der Seite grösserer lebendiger Kraft zugeneigt hätte. Das Product aus 231 lebendiger Kraft und Zeit wird also auf einem Wege von etwas grösserer Zeit und kleinerer lebendiger Kraft, wie er im Gleich- gewicht der Centrifugalkraft und der seitlich gerichteten Be- wegungskraft ausgeführt wird, immer noch kleiner sein können, als auf dem Wege kürzester Zeit. Dadurch lässt sich wohl einsehen, dass das Princip der kleinsten Action einen solchen Einfluss dem Sinne nach richtig anzeigt; aber nicht ohne Rechnung lässt sich begründen, dass dies auch in Bezug auf dessen Grösse der Fall ist Verhältniss von Hamilton's allgemeinem Princip der Mechanik zu dem der kleinsten Action. Das Princip der kleinsten Action kann in zweierlei Weise durchgeführt werden, je nach der ßedingimg, welche man für die Variation festsetzt In allen Fällen verlangt man, dass der Gesammtbetrag der Action ein Grenzwerth sei für den Über- gang aus einer gegebenen Anfangslage in eine gegebene End- lage. Die Variation wird bewirkt dadurch, dass man die Coordi- Zur Geschichte des Prineips der kleinsten Aetion. 257 naten pa der einzelnen während des Übergangs eintretenden Lagen des Körpersystems varürt, gleichzeitig aber auch die Zeit, und zwar letztere so, dass der vorhandene Betrag der Energie des Systems nicht geändert wird. Da nämlich die Energie ausser der potentiellen Energie F, welche nur von der Lage ab- hängig ist^ auch noch die lebendige Kraft enthält, die von den Geschwindigkeiten abhängig ist, und die letzteren durch Varürung der Wegstrecken, die im Zeitelement dt zurückgelegt werden, varürt werden, so kann man sämmtlicbe Geschwindigkeiten durch Variation des Werthes von dt^ der zur betrachteten Wegstrecke gehört, verändern, und dabei die Änderung von dt so einrichten, dass der Betrag der Energie bei der Yariation nicht geändert werde. Diese Forderung aber, dass der Betrag der Energie nicht varürt werde, kann in zweierlei Weise gestellt werden. A. Es wird verlangt, dass nur der zur Zeit in der un- variirten Bewegung bestehende Betrag der Energie nicht ge- ändert werde, ohne die Grösse dieses Betrages vorzuschreiben, welcher möglicher Weise durch Änderung von Umständen, die unabhängig von der Bewegung des Systems ablaufen, sogar im Laufe der normalen Bewegung sich ändern kann. Das ist das von Lagrange und Hamilton behandelte Problem. Beide unterscheiden sich nur durch die Methode der Lösung. B. Man verlangt, dass der Betrag der Energie einen vor- 232 geschriebenen Werth E E = F + L habe und behalte. In diesem Falle kann man diese Gleichung benutzen, um das dt zu eleminiren. Dies ist das Problem, wie es C. G. J. Jacobi gefasst hat F muss hierbei von / un- abhängig sein. Lagrange's Verfahren. Lagrange ^) giebt die erste vollständige und genaue Dar- stellung des Prineips der kleinsten Aetion in der Form 1) Miscellanea Taurinensia T. II. p. 190—298. T. Helmholti, wiBwnaehaftl. Abhuidliingeu. UI. 17 258 Zar Geschichte des Frincips der kleinsten Action. I jUlma ' qa 'd8a] = 0 1. Darin ist w^ die Masse, g« die Tangentialgesch windigkeit, dsa das Element der Weglänge je eines bewegten Punktes. Es ist also dSf^ ^ q^ • dt la« Die einschränkende Bedingung, dass bei Ausführung der Variation der Werth der Energie nicht verändert werde, hat er in einer Form aufgestellt, in der die Kraftcomponenten noch nicht als Differentialquotienten der Energie ausgedrückt sind, dadurch wird die Darstellung sehr weiüäuftig. Bei Einführung der genannten Vereinfachung ist die einzuhaltende Bedingung: ^ b^a • 9a • ^9c] ••\- ÖF = 0 Ib. Es wird keine der Variablen als unabhängig und unvariir- bar erklärt, also namentlich auch nicht die in den qa versteckt vorkommende Zeit Um dieses Verhältniss deuüich zu bezeichnen, ist es rathsam die sämmtlichen Grössen Sa^ q^ und / als ab- hängig von einer zunächst unbestimmt bleibenden unabhängigen Variablen, die wir mit ^ bezeichnen wollen, darzustellen. F kann als Function der pa und eventuell auch explicite des d angesehen werden, Lagrange^) leitet zunächst aus Gleichung (1) ab: 2* Mma • dqa • (fe«] + -^ A^a • Qa • ^dsa] = 0 le und eliminirt nun die Variationen dq^ durch Gleichung (Ib); nämlich 2* [nia • dqa • (fe J = 2* ynia • ?« • ^9a • "T J dSf Qa = 2* [ma • 9a • ^9a * dt] ^ = — ÖF ' dt Id. 233 Wählen wir zur Bestimmung der Orte beliebige Coordi- naten p^^ so wird sich der Werth von F durch diese und durch ») MisceUanea Taurinensia T. U. p. 196, 205. Zar Goschichte des Principe der kleinsten Action. 259 '& ausdrücken lassen. Dagegen der im zweiten Integral von (Ic) vorkommende Wertli Die Summe 2 [m^ • cfej] lässt sich in bekannter Weise auf a eine quadratische Form der dp^ zurückführen: -S^K • dsW = 2* 2* [\äu dpadp,] = L . (^y 1. worin die A Functionen der pa sind. Nach diesen Substitutionen giebt Gleichung (U), indem wir die Abhängigkeit von ^ be- zeichnen d» Werden die Variationen in bekannter Weise ausgeführt, die d (ipc) I dd' durch partielle Integration beseitigt, wobei die dp^ an den Grenzen der Integration gleich Null gesetzt werden, so er- hält man die Bedingungen des Grenzwerihes von (1): 0 = _ ^ ^ , _1_ ^ ^ pA^.c dp, dp{\ dp« • J* "^ 2 . ^ b c L ^A ' d'»' d»\ d» dph 2^...-f^ 1 d» Da jedes j»« ^^d auch t nur von ^ abhängen soll, ist für diese, wie alle anderen Functionen 9?, die nur von ^ abhängen: dq) M _d^ dt_~ dt' d» Somit kann (1^) geschrieben werden: 17* 260 Zqt Gesohiohte des Prindps der kleioBten Action. welche Gleichung mit den bekannten Bewegungsgleichungen von Lagrange übereinstimmt Im F allein würde noch d stecken können, als eine Grösse, von der ursprünglich t abhängen sollte. Da nun aber in (Ih) alle anderen Grössen p^^ q^ als Functionen von i dargestellt sind, und sich aus (If), worin i nur ausserhalb des Yariationszeichens vorkommt, keine Bedingungsgleichung durch Yariation des t 234 ergeben hat, sondern nur so viele Bedingungen, als Grössen p^ existiren, so bleibt die Beziehung von ^ zu i unbestimmt, d. h. die Gleichungen (1 h ) erfüllen die Forderungen des Yariations- problems für eine jede willkürlich gewählte Art der Abhängig- keit des t von d, oder des ^ von <, wie dies bei den Bewegungs- gleichungen in der That ebenfalls der Fall ist. Das F kann also von ^ oder von t beliebige Abhängigkeit haben; das ändert die Geltung der Gleichungen (Ih) nicht Man kann aber das Yariationsproblem auch mittels der Methode der unbestimmten Coefficienten behandeln, und da- durch die Yariationen ip^ und dt von einander unabhängig machen. Dies führt zu Hamilton's Form. Indem wir in Gleichung (1) das ds^^ durch (1») eliminiren, kommen wir zur Forderung: 0 = ^A-S-^* 2 während die Yariationen der p^^ und des i so ausgeführt werden sollen, dass öiF+L) = 0 2a bleibt Da die letztere Gleichung für jeden Werth von d er- füllt sein soll, muss man den willkürlichen Factor il, mit welchem man sie multiplicirt, als eine Function von d behandeln, die natürlich nicht der Yariation unterworfen ist So erhalten wir 0 = (j|[A.i?'+ (a+^J.lJ.c/* 2, als die zu erfüllende Bedingung. Zu variiren sind die jOa ^^^'^ <; die ipa sind an den Grenzen des Integrals gleich Null zu setzen, während das dt keiner solchen Bedingung unterworfen ist Zar Geschichte des PrincipB der klefaisten Actdon. 261 F ist wieder zu behandeln als Function der p^ und des tf, und L ist von der in ( 1 « ) gegebenen Form. a) Variation nach p^ ergiebt die Bedingung b) Variation nach l eipebt für die Lagen zwischen den Grenzen: ' «=-i+M^+.^)i ^ I d» An den Grenzen aber « = --('+ä)-|- ^ Die Gleichung (2 a) ergiebt, dass 235 -'-+{'+ fy-k" '^^ Die Gleichung (2«) stimmt damit überein, indem sie gleich- zeitig zeigt, dass die Gonstante Null sein muss. Da nun lo welches als Factor in beiden Gliedern vorkommt, bei keiner Be- wegung Null sein kann, so folgt 2^+S=0 2,.- Wenn wir diesen Werth von X zunächst in die Gleichungen /// (2c) einsetzen, erhalten wir mit |--t^ dividirend: ~ SpaSp^ di\dqj ^ die bekannte Form der Bewegungsgleichungen wie (Ih). Die Gleichungen (2i) dagegen und (2«) werden identisch erfüllt i) >) Der wesentliche Inhalt der bis hierher gegebenen Ableitung kommt auch bei Hm. A. Mayer vor. (Berichte der Königlich Sächsischeu Gresell- schaft der Wissenschaften, 1886. 14. Novbr.) 262 Zur Geschichte des Princips der kleinsten Action. Die in diesen letzteren Gleichungen gleich Null gesetzten Ausdrücke sind aber die Factoren, mit denen das di in der Variation des Integrals (2b) zwischen und an den Grenzen des- selben multiplicirt ist Daraus folgt, dass das di nach der Fest- setzung des Werthes von k in (2f) ganz willkührlich gewählt werden kann, also i eine beliebig veränderliche Function von tf werden kann, ohne dass der Werth des Integrals (2 b ) dadurch ge- ändert wird. Damit hört aber auch die Nothwendigkeit auf, i zu variiren; denn wenn i als Function von tf irgendwie gewählt ist, kaon auch das willkürlich bleibende di = 0 gesetzt werden. Dadurch wird der in (2f) gegebene Werth von k der Variation entzogen und kann in das Integral (2b) eingesetzt werden. So erhalten wir Hamilton 's Form 0==-löliF-L).% d» oder da i eine willkürliche Function von d, folglich auch gleich ^ sein kann 0 = df(F— L) dt 2h worin nun auch F eventuell eine Function von i sein würde. Daraus geht hervor, dass auch Hamilton 's hier gefundene Form aus der von Lagrange vervollständigten Fassung des 236 Princips der kleinsten Action hervorgeht, wenn man die Neben- bedingung benutzt, um die Variation der Zeit zu eliminiren. Die Abweichung von Lagrange 's Vorfahren liegt nur darin, dass diese Elimination, wodurch die ursprüngliche unabhängige Variable # verschwindet, und statt ihrer das i als nicht zu va- rürende Grösse eintritt, auch in das zu variirendc Integral selbst eingeführt wird. Lagrange's und Hamilton's Form sind also auch durch- aus übereinstimmend in den Voraussetzungen über die in das Problem eintretenden Functionen F und L, wie in den daraus zu ziehenden Folgerungen. Jacobi's Form ergiebt sich, wie er selbst auseinander- gesetzt hat, indem man das Zeitelement dt ganz eliminirt mittels der Gleichung: F] = F + L, Zur Geschichte des Princips der kleinsten Action. 263 welche aber nur gilt, wenn F von t unabhängig ist Dafür tritt derWerth des E in das zu variironde Integral der Action ein: A= ^1/2 {E—F)^d8, wo Will man aber die Abhängigkeit der Grössen von einander Yollständig bezeichnen, so muss man die unabhängige Variable tf wieder einführen, deren Functionen die p« sii^d. Die Form von Lagrange ist also die gemeinsame Quelle der beiden anderen Formen, die durch Elimination yerschiedener Grössen mittels der Zusatzbedingung entstehen. Hamilton eli- minirt dt^ wobei auch E und tf wegfallen, Jacobi eliminirt (wenn F unabhängig von t) dt und damit t aus dem zu var riirenden Integral Beide Methoden ergeben eine Fassung des Yariationsproblems, bei der keine Nebenbedingungen mehr an- zufügen sind. Physikalisch ist Jacobi's einschränkende Be- dingung für ein yollständig bekanntes und in sich abgeschlossenes Köipersystem stets als gültig anzusehen. Hamilton's Form dagegen erlaubt die Bewegungsgleichungen auch für unvoll- ständig abgeschlossene Systeme durchzuführen, auf welche ver- änderliche äussere Einflüsse wirken, die von einer Bückwirkung des bewegten Systems unabhängig angesehen werden können. Zu den letzteren gehören auch die von so^nannten festen Gentren ausgehenden Kräfte, die übrigens auch in Jacobi's Form aufgenonmien werden können.