^eirliüite Vories^iasiaä'. Das Pi-inei]> der klcinstfn Wirknii;] Wir kommen jetzt zu einem neuen Princip, welches nicht, wie die früheren, ein Integral giehi. Dies ist das „principe de la moindre action", fälschlich der kleinsten \\'irkung genannt. Die Wichtigkeit desselben liegt erstens in der Form, unter welcher es die Diirerentialgleichungen der Be- wegung darstellt, und zweitens darin, dass es eine Function angiebl, welche, wenn diese Dill'erentialgleichungen erfüllt sind, ein Minimum wird. Ein solches Minimum exislirt zwar hei allen Aufgaben, aber man weiss in der Regel nicht wo. Während daher das Interesse dieses Princips gerade darin besteht, dass man das iMinimum allgemein anrjebeii kann, legte man in frü- heren Zeilen ein übertriebenes Gewicht darauf, dass ein solches Minimum überhaupt existire. Ein 15cispiel des in Rede stehenden Princij)s kommt in der schon früher citirten Abhandlung von Euler „de motu projectorum" vor. Nachdem er daselbst jenes Princip für die Anziehungen nach festen Centren bewiesen hat, gelingt ihm dies nicht für gegenseitige Altractioiien, für welche ihm die Gellung des Princips der lebendigen Kraft unbekannt war: er begnügt sich daher zu sagen, für gegenseitige Anziehungen würde die Rechnung sehr weitläufig, indessen müsste das Princip der kleinsten Wirkung auch hier gelten, denn die Grundsätze einer gesunden Metaphysik zeigten, dass in der Nalur (li(; Kräfte nothvvendig immer die kleinste Wirkung hervorbringen niüssten (wie er nieinle, wegen der den Körpern inwohnenden Trägheil). Aber dies zeigt Aveder eine gesunde, noch überhaupt irgend 48 Mehrdeutigkeit stattliiiden. Aber bei dem Princip der kleinsten Wirkung nimmt man nicht die Anfangspositionen und Anfangsgeschwindigkeiten als ge- geben an, sondern die Anfangs- und Endpositionen. Daher muss man, um die wirkliche Bewegung zu erhallen, durch Auflösung von Gleichungen die Anfangsgeschwindigkeiten aus den Endposilionen ahleilen. Diese Gleichungen brauchen nicht linear zu sein, daher kann man mehrere Systeme von Wer- |hen der Anfangsgeschwindigkeiten erhalten, und diesen Systemen entsprechen dann mehrere Bewegungen des Systems aus den gegebenen Anfangspositionen in die gegebenen Endpositionen, welche sämmtlich in Beziehung auf die ihnen unendlich nahe liegenden Bewegungen Minima geben. Indem man nun das Intervall der Anfangs- und Endpositionen von Null an continuirlich wachsen lässt, ändern sich auch die verschiedenen Systeme von Werthen, welche man aus der Auflösung der Gleichungen für die Anfangsgeschwindigkeiten erhält. Sobald nun bei dieser Aenderung der Werthsysteme der Fall eintritt, dass zwei Systeme von Werthen einander gleich werden, so ist dies die Grenze, über welche hinaus kein Minimum mehr stattfindet. Diesen Satz, der übrigens für die .Mechanik im engeren Sinne von gar keiner Wichtigkeit ist, habe ich im CVW/eschen Journal""") bekannt gemacht, aber nur als Notiz ohne Beweis. Als Beispiel zu demselben wollen wir die Bewegung der Planeten um die Sonne wählen. Gegeben sei der eine Brennpunkt A der Ellipse als Ort der Sonne und die grosse Axe a der Ellipse und ausserdem zwei Positionen/; und (] des Planeten. Bezeichnen wir den zweiten vorläufig unbekannten Brennpunkt mit B, so sind durch die gegebenen Stücke die Entfernungen des Punkfes B von den beiden Planetenörtern p und q bekannt; diese Entfernungen sind nämlich =^a~Ap und =a — A(] wegen der bekannten Dies gieht aber für B zwei Lagen B und B' , die eine oberhalb, die andere unterhalb der Verbindungslinie von p und q. Es giebl also zwei Ellipsen, mithin auch zwei Bewegungen des Planeten, welche für die gegebenen Stücke möglich sind. Damit beide Lösungen zusammen- fallen, müssen die Punkte B und B' in die Verbindungslinie von p und q fallen, d. b. p, B und q müssen in gerader Linie liegen, mithin q in //. Eigenschaft der Ellipse. *) Bd. 17, p. 68 fülgg. — 49 — Der Punkt /)' bezeichnet also die Grenze, über welche man von p aus das Integral nicht ausdehnen darf, ohne dass es aulhörl ein Minimum zu sein. Wir kehren jetzt zu der eigenllich mechanischen Bedeulung des Princips der kleinsten Wirkung zurück. Diese besteht darin, dass in der Gleichung (1.) dieser Vorlesung die Griindgleichungen der Dynamik für den Fall enthalten sind, wo das Princip der lebendigen Kraft gilt. In der That, die Gleichung (1.) war: Hier können wir alle Coordinaten nach Elliminalion der Zeit als Functionen von einer, z. ß. von a-,, ansehen, und demnach schreiben: cy /y 2 ( [/+ h) y ^m, (-^)- dxi = 0 oder oder, wenn wir dx. , dij , dz, setzen, dx, ""^•' dx, ^" dx, ~~^' Unter Einführung der Bezeichnungen 2{U^h) = A, :SmXx; + ij:'+z';) = B, iA.iB = P haben wir endlich <^/'Pdx, = 0, oder es ergiebt sich die Regel: man setze in /Pdxi für x,, y,, s, respeclive x,-{-dx,, yi + t^y,, z, + ^Zi ein, wo (Ta-,, ^y,, dz, in den unendlich kleineu Factor a mulliplicirle willkürliche Functionen sind, welche innerhalb der In- tegrationsgrenzen nicht unendlich werden, entwickele nach Potenzen von a und setze das in die erste Potenz von a multiplicirte Glied gleich Null. Hierbei ist zu bemerken, dass erstens, weil die Grenzen des Integrals gegeben sind, von den Grenzen keine Variatiouen herrühren können, dass ferner aus demselben Grunde alle Variationen au den Grenzen verschwinden müssen, und endlich, dass d'xi überhaupt Null ist, weil x, die unabhängige Variable ist. Demgemäss Jacdbi, Dynamik. 7 — 50 — erhall man nach den Regeln der Variationsrechnung: dJPdx, = fdPdx, dP . , dP ^ , öP ., , dP ., , dP . , , dP /• ( dP ^ , dP ^ : dP .. dP ., . dP ^ , dF y , I , st d~ /'dP t, , fdPd,^-'^ dP ., i öa;' dxi . oder, da Jx. an den Grenzen der Integration verschwindet, ^^ öP /'SP IX . (' S^'i I ^r-T OX, dx, = — I ; — OX, dx, . J dx\ ' ^ ._/ dx^ Aehnliche Gleichungen gellen für y, und 3, . Die Benutzung dieser Gleichun- gen giebt: (jJ'Pdxi = Es ist aber dP _ . I~B dA _ iT du 5P _ , /X dB _ /T ö^ - 2- y X 7^ - F IT öo;. ' dx\- - y i? dxl - I /J ■ "'''^" also hat man , dP j / A d^,\ dx. dx, \ A dx. dx, Setzt man nun (2.) ^-^dx, = dt, so erhält man d~ _ dP ö^[ IB cdV (l'x, 'J?. / B /'dU (i^,\ r = ]'-Ä\-d^-"''iii^) dx. dx, und ähnliches für ^, und z^. Führt man diese Ausdrücke ein, so ergiebt sich: (^y'Pdxi - — 51 — Diese Variation soll aber nach unserem Princip verschwinden; also hat man oder ^3.) ^,«.|^ Ja.. + ^ dy, + -^ ,h,) = ^(^ da-. + ^ dy, + ^ Jz.) = J {/, welches die frühere symbolische Gleichung ist. Die Gleichung- (2.) ist nichts Anderes als der Satz der lebendigen Kraft: denn durch Ouadrirung findet man B(Lr\ = Adf- oder (Ix \- / (/(/ \ - / dz- •"'■l(^)+(^)+(4)"l = 2(t^+/o. Dies war vorauszusehen, denn durch den Satz der lebendigen Kraft hatten wir die Zeil aus dem Inlegral des Princips der kleinsten Wirkung eliminirt. !§iel)eiite Vorlesung. Fernere Betraclitiinoen über das Piiucip der kleinsten Wirkung. Die Lac/rungcAchQn Multij)licatoren. Ausser dem Uebelstande, der bei der gewöhnliclien Ausdrucksweise des Princips der kleinsten Wirkung darin liegt, dass man den Salz der lebendigen Kraft nicht in das Inlegral einführt, kommt noch der hinzu, dass man sagt, das Integral solle ein Grössles oder Kleinstes werden, stall zu sagen, seine erste Variation solle verschwinden. Die Verwechselung dieser keineswegs identischen Forderungen ist so sehr Sitte geworden, dass man sie den Autoren kaum als Fehler anrechnen kann. Es findet sich in dieser Rücksicht ein sonderbares Quidproquo bei Lagrange und Poissoii, welches sich auf die kürzeste Linie bezieht. Lagrunge sagt ganz richtig, in diesem Falle könne das Inlegral nie ein Maximum werden, denn wie lang auch die zwischen zwei Punkten auf einer gegebenen Oberfläche gezogene Curve sein möge, so könne man immer eine noch längere angeben: und hieraus schliessl er, dass das Inlegral immer ein lAlinimum sein müsse. Pohson dagegen, der wussle, dass das In- tegral in gewissen Fällen, namentlich bei geschlossenen Oberflächen, über ge- 7^"- — 52 — wisse Grenzen hinaus aufhört ein Minimum zu sein, schloss hieraus, in diesen Fällen nnisste es demnach ein Maximum sein. Beide Schlüsse sind falsch; im Fall der kürzesten Linien kann das Integral allerdings nie ein Maximum sein, vielmehr ist es entweder ein Minimum, oder keines von Beiden, weder Maximum, noch Minimum. Die Elimination der Zeit aus dem Integral, welches hei dem Princip der kleinsten Wirkung in Betracht kommt, darf nicht etwa durch das Princip der Flächen oder irgend eine andere Integralgleichung des Problems, sondern sie muss gerade durch das Princip der lebendigen Kraft geschehen; nur so kommt man zu dem Princip der kleinsten Wirkung. Lagraiu/e sagt an einer Stelle, er habe in den Turiner Memoiren die Diiferentialgleichungen der Be- wegung aus dem Princip der kleinsten Wirkung in Verbindung mit dem Princip der lebendigen Kraft hergeleitet. Eine solche Ausdrucksweise ist nach den' oben gemachten Bemerkungen nicht zulässig. Lagrange wandte die soeben von ihm erfundene Variationsrechnung auf das schon von Euler benutzte Prin- cip der kleinsten Wirkung an, gebrauchte aber hierbei das Princip der leben- digen Kraft in der Ausdehnung, welche Daniel Bernonlli demselben gegeben hatte, und auf diese Weise kam er zu der allgemeinen symbolischen Gleichung der Dynamik, von welcher wir ausgegangen sind, und welche wir hier noch einmal hinschreiben wollen; sie war: (1.) ^m.\'^-^dx,+ '^,yy,+^^z,\ = -{A.Jx,+ y.r%.+ Z,()'s,}, wo auf der rechten Seite cW zu setzen ist, wenn das Princip der lebendigen Kraft gilt. Abstrahirt man davon, dass d'U nach dem in der Variationsrech- nung üblichen Sinn nur dann für die rechte Seite obiger Gleichung gesetzt werden kann, wenn die Grössen A'^, 7;, Z, die partiellen Dilferentialquolienten einer einzigen Function U sind, und betrachtet man es rein als symbolische abgekürzte Bezeichnung, so hat man (2.) ^.,{-^c)^..^-^j,.+ _^^,.j = .m auch, wenn der Satz der lebendigen Kraft nicht gilt. Diese Gleichung ist nun, wie schon früher erwähnt wurde, auch noch richtig, wenn Bedingungs- gleichungeu statifiiulen, aber dann sind die Variationen nicht mehr alle von einander unabhängig. Hat man m, Bedinffunffsg-leichunffen (3.) /"^O, V \ 11. s. w. Vermittelst dieser m Gleicliungen kann man m von den 3w Variationen (Tx,, fTy,, ds, . . . aus der Gloicliung (1.) eliminiren, und indem man die übrig bleibenden von einander unabhängig setzt, zerfällt die symbolische Gleichung (1.) in die Did'ereuliaigleicluiugon der Bewegung. Aber diese Eliminalion würde sehr mühsam sein, und sie hat überdies manclie Uebelstände; denn erstens müsste man gewisse Coordinaten vor den übrigen bevorzugen, man erhielte keine symmetrischen Formeln, und ausserdem wäre die Form der Eliminationsgleichungen für jede Anzahl von Bedingungsgleichungen eine andere, durch welchen Umstand die Allgemeinheit der Untersuchung sehr er- schwert werden würde. Alle diese Schwierigkeiten hat Lagrai/ge durch Ein- führung von Multiplicaloren besiegt, eine Methode, welche schon E/i/er bei den Problemen „de maximis et minimis" häufig angewendet hat. Da nämlich die Variationen Jj;,, d'y,, Jz-, ... in den Gleichungen (1.) und (4.) linear vor- kommen, so kann man die Elimination von m derselben folgendermassen be- werkstelligen: 3Ian mulliplicire die Gleichungen (4.) respective mit den Factoren l, f,i . . . und addirc sie zu (1.); die resullirende Gleichung heisse (L). Nun bestimme man die Factoren Ä, ti ... so, dass in der mit (L) bezeichnelen Gleichung m der in die Variationen ^x^, (Jij,, cl's. . . . multiplicirten .aus- drücke identisch verschwinden; dann geben die in die übrig bleibenden 3w — /w Variationen multiplicirten Ausdrücke gleich Null gesetzt die Diil'erenlial- gleichungen des Problems. Man sieht auf diese V^'eise, dass man in der Gleichung (L) sämmiliche 3« in die Variationen d\r,, iJij^, (Jz- . . . mulliplicirlen Ausdrücke gleich Null zu setzen hat, und man hat diese Gleichungen dann so anzusehen, dass m. derselben die Jlulliplicaloren A, u ... deliuireu, die übrigen aber, in welche die so bestimmten Multiplicatoren einzusetzen sind, die Dif- ferentialgleichungen des Problems geben. Mit andern W^orlen, zwischen den 'in Gleichungen, in welche die Gleichung {L) zerfällt, wenn man die Variationen alle als unabhängig ansieht, hat man die m Multiplicatoren l, jli ... zu eli- miniren und erhält dann die '3>/ — m DiH'erentialgleichungen des Problems. An- statt aber diese Eliminalion auszuführen, thut man besser die unbekannten iMulli- / ffj- i (le ) d% \ »l. dt' 1 — 54 — plicaloren in den 3w Gleichungen zu lassen und auf diese die ferneren Unter- suchungen zu gründen. Diese 3w Gleichungen werden alsdann von der Form dx. ' dx. ^ (5.) <-.^ = l-^ + ^l^+Z^f + •••, v\o für alle n Werlhe von i üherall dieselben Mulfiplicatoren l, u . . . vor- komnion. Dies ist die Form, welche Lar/ranf/e den Gleichungen der Bewegung eines durch beliebige Bedingungen gebundenen Systems gegeben hat. Die zu den Kräften X,, Y^, Z, hinzukommenden Grössen drücken die Wirkuno- des Systems aus., d. h. die Modificalion, welche die soUicitirenden Kräfle durch die Verbindungen der materiellen Punkte erleiden. Zu diesem Resultat gelangt man auch in der Statik, indem man beweist, dass, wenn in den » Punkten des Systems die Kräfte parallel den Coordinatenaxen angebracht werden, dieselben durch die Ver- bindung des Systems aufgehoben werden, woraus hervortrehl, dass die durch die Verbindung des Systems aufgehobenen Kräfte nicht bestimmt sind, sondern die unbestimmten Grössen /, fi . . . enthalten. Die Einführung der 3Iultiplicatoren Ä, 11 ... ist daher nicht ein blosser Kunstgrilf der Rechnung, sondern diese Grössen haben in der Statik ihre ganz bestimmte Bedeutung. Aus dem soeben ausgesprochenen Satz der Statik kann man nun auch auf die Gleichungen (5.) der Bewegung kommen und zwar, indem man den Uebergang von der Statik zur Mechanik auf folgende Betrachtung gründet: Wegen der Verbindung des Systems können die materiellen Punkte den ihnen mitgetheilten Impulsen nicht Folge leisten. Um die wirkliche Be- wegung zu ermitteln, muss man daher solche Kräfte hinzusetzen, deren Com- plex von der Verbindung des Systems aufgehoben wird, nach deren Hinzu- fügung es daher so anzusehen ist, als wenn die Punkte den an sie angebrachten Kräften ohne Hinderniss folgten; mit andern Worten, nach Hinzufügung von Kräften, durch welche die Verbindung des Systems aufgehoben wird, kann — 55 — man das System als ein freies belracliten. Dies ist als ein Priiicip anzusehen, und aus ihm ergeben sich ganz von selbst die Gleichungen (5.). Eben dieses Princip, welches uns die 3Iodificalion der beschleunigenden Kräfte durcli die Verbindungen des Systems gegeben hat, dient auch dazu, die Modilication der momentanen Kralle durch die Verbindungen des Systems zu finden. Die Formeln, welche man hier anzuwenden hat, sind ganz die näm- lichen. Wirken auf den Punkt m, die momentanen Impulse a^, b,, c, so sind die mit Berücksichtigung der Verbindung des Systems hieraus folgenden modi- licirlen Impulse: dx. ^■' ' d. r (6.) 6, + ^i t t wo die Grössen A,, iii . . . wieder für alle Punkte des Systems dieselben bleiben. Wenn man die Grössen l, /li ... und A, , /f, . . . bestimmen will, so muss man die Gleichungen f=0, (p = 0 ... dill'erentiiren. Zur Bestimmung der Grössen l, u . . . muss man zweimal dilTerentüren und dann die zweiten Dilferentialquotienten der Coordinaten aus den Gleichungen (5.) subslituiren; zur Bestimmung der Grössen Aj, ,», . . . hat man aber nur einmal zu dilferentiiren, denn die momentanen Impulse sind den Geschwindigkeiten, d. h. den ersten Differentialquotienten proportional. Wir wollen die Gleichungen zur Bestim- mung von i^.j, »1 . . . wirklich entwickeln, indem wir annehmen, dass die mo- mentanen Impulse «,, b,, c, am Anfang der Bewegung erfolgen, und dass das System in diesem 31oment sich in vollkommener Ruhe befindet. Unter diesen Umständen können wir für den Anfang der Bewegung die beschleunigenden Kräfte ganz ausser Acht lassen, da dieselben nur unendlich kleine Geschwindig- keiten ergeben würden, und haben daher, wenn wir zvir Bestimmung von A, , Ui ... die Differentialgleichungen ^\ df dx^ df dy. Sf dz^ I dx. dt ' dy. dt ' ös. dl d(p dx. d(p dy. Q,p dz,_ dx. dt dy. dt dz. dt u. s. w. = 0, = 0, — 56 — , dx du dz 1 1 . 1 I hilden, für — p-, —77-, —77- die Grössen (6.) zu setzen, nachdem sie durch itt dt Qit m, dividirt worden sind. Dies giebl folgendes Resultat: man setze III \dx ' du az. V • m. \dx. au. dz. V ' »«.. ^dx. ' du. Khl) - ^ m..\dx. dx.^ du. dy.^ dz. özV' Kh^') - ^ m\dx. dx^^ dij^ dy^^ dz, dz.J' dann hat man zur Bestimmung von /-i, //, ... die Gleichungen , 0 = A+{f, n'^-i+in v)^'i+{f, v')''.+--, ' u. s. w. Von derselben Form werden die Gleichungen zur Bestimmung von /, fi . . . , nur dass A, B, C . . . hier andere Werthe annehmen. Wir kehren jetzt zu den Differentialgleichungen (5.) zurück. Wenn wir dieselben der Reihe nach mit c5'.r,, (Jy,,